问题补充:
已知正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=(k≠0)在第一象限的图象交于A点,过A点作x轴的垂线,垂足为P点,已知△OAP的面积为.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)如果点B为反比例函数在第一象限图象上的点(点B与点A不重合),且点B的横坐标为1,在x轴上求一点M,使MA+MB最小.
答案:
(1)设A点坐标为(x,y)由题意可知OP=x,PA=y
∴S△AOP=xy=,
∴xy=1,
∵点A在反比例函数图象上,
∴k=xy=1,
∴y=;
(2)作A关于x轴的对称点A′,连接A′B,交x轴于M点,这时MA+MB最小.
∵点B的横坐标是1,
∴点B的纵坐标是y==1,
∴B(1,1),
∵A点是正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=的图象交点,
∴2x=,
解得x=±,
∵点A在第一象限,
∴A点的横坐标是,
∴点A的坐标(,),
∴点A关于x轴对称的点A′的坐标是(,-),
设直线A′B的解析式为y=kx+b,把点A、B的坐标代入得:
,
解之得,
∴直线AB的解析式为y=(4+3)x-3-3,
当y=0时,x==,
故M(,0).
解析分析:反比例函数图象上任一点向横轴和纵轴做垂线,垂线段和横纵轴所围成矩形的面积即为k的绝对值,由图象分布的象限可求得K的值,由解析式可求得点的坐标,由点的坐标用待定系数法可求得函数解析式.
(1)设A点坐标为(x,y)则OP=x,PA=y,根据△OAP的面积为可得xy=1,再由点A在反比例函数图象上,可知k=xy=1,即可得到反比例函数关系式;
(2)作A关于x轴的对称点A′,连接A′B,交x轴于M点,这时MA+MB最小.首先求出B点坐标,再利用函数关系式算出A、A′的坐标,再利用A、B两点坐标利用待定系数法算出直线AB的函数解析式,最后根据函数解析式求出M点坐标即可.
点评:此题主要考查了反比例函数与一次函数的图象和性质,轴对称的性质,待定系数法求解析式,解决此题的难点是确定M点的位置,在直线L上的同侧有两个点A、B,在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在,可以通过轴对称来确定,即作出其中一点关于直线L的对称点,对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点.
已知正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=(k≠0)在第一象限的图象交于A点 过A点作x轴的垂线 垂足为P点 已知△OAP的面积为.(1)求反比例函数的解析式;(2
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