函数的本质是集合和集合之间的一种关系。
对于任意元素 x, y,用 (x, y)={{x}, {x, y}} 表示它们组成的序对({x, y} 是无序对)。
对于任意两个集合 X,Y,定义卡氏积:
X × Y = {(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y }
称 任何一个 卡氏积的子集 f ⊆ X × Y 为 X 到 Y 的一个二元关系。
如果 关系 f 满足:对于任意 X 中的元素 x,在 Y 中最多只有一元素 y 和 x 有关系,即,
(x, y₁) ∈ f ∧ (x, y₂) ∈ f ⇒ y₁ = y₂
则称 f 为 函数关系,记为 f : X → Y,X 和 Y 分别被称为 原陪域 和 陪域。
对于任意 A ⊆ X,称所有 Y 中和 A 的元素有关系的元素组成的集合为 A 的像集,记为 f(A),有,
f(A) = { y ∈ Y | ∃ x ∈ X, (x, y) ∈ f }
对于任意 B ⊆ Y,称所有 X 中和 B 的元素有关系的元素组成的集合为 A 的 原像集,记为 f⁻¹(B),有,
f⁻¹(B) = { x ∈ X | ∃ y ∈ Y, (x, y) ∈ f }
特别当 A = {x} 是单点集时,{y} = f({x}) 简写为 y = f(x),称,y是x的像,x是y的一个原像。
令,dom f = f⁻¹(Y),ran f = f(X),分别成为 定义域 和 值域。
对于 函数关系 f: X → Y ,如果 dom f = X,则称 f 为映射。
对于 映射 f: X → Y,
如果 ran f = Y,称 f 是 满射 或 到上的;
如果 对于任意 y ∈ ran f,y 的原像集 f⁻¹(y) 都是单点集,即,|f⁻¹(y)| = 1,则称 f 是 单射 或 一一的;
既是单射又是满射,称 f 为 双射、一一对应、一一到上的。
一般地,如果 映射 f : X → Y 的陪域 Y 是数域,则称 f 为函数,再 根据 原陪域X 的不同(以下,A 是一般集合,R是实数域,C是复数域,K 是数域,V 和 W 是向量空间,L 和 P 是函数空间):
称 f: A → R 为集函数;
称 f: R → R 为 实函数;
称 f: C → C 为 复函数;
称 f: V → K 为 多元函数;
称 f: L → K 为 泛函数;
特别地:
称 f: V → W 为 向量函数;
称 f: L → P 为 算子;
大家经常说的函数特指实函数。
另外,称自身到自身的映射 T : X → X,为变换,为双射的变换称为置换。
有些函数除了用序对的集合定义外还可以表示成解析式的形式,称为函数的解析式表达。
常用的 初等函数,有(a, b, c 都是常数):
常函数:y = c;
线性函数: z = ax + by;
幂函数:y = xᵃ;
指数函数:y = aˣ;
对数函数:y = ln x,y = logₐ x;
三角函数:y = sin x, y = cos x, y = tan x, …;
反三角函数:y = arcsin x, …;
双曲函数:y = sinh x, y = cosh x, …;
常用的 超越函数, 有:
伽玛函数:
贝塔函数:
一些特殊函数:
指示函数(也称 特征函数):
单位脉冲函数:
单位阶跃函数:
如果函数的解析式写为 f(x, y) = 0 的形式,则称为 隐函数。
如果,函数y = f(x) 是双射,x = f⁻¹(y) 依然是函数,称为反函数。
对于实函数 f, g 可以定义 函数的四则运算:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)、 (f – g)(x) = f(x) – g(x)、(fg)(x) = f(x)g(x)、(f/g)(x) = f(x)/g(x)
对于 函数 f: X → Y、g: Y → Z,可以定义函数复合运算 g ∘ f : X → Z,(g ∘ f )(x) = g(f(x))
实函数还具有如下性质:有界性、单调性、奇偶性、周期性、极限、连续性、一致连续性。
最后,函数被广泛的使用在数学的各个领域,扮演者重要角色,也背负不同的本质特性,例如:
《集合论》中的 等价;
《线性代数》中的 (多)线性映射;
《抽象代数》中的 同态和同构;
《拓扑学》中的 拓扑同胚和同轮;
《范畴论》中的 态射、自然变换、函子;
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