函数的本质是集合和集合之间的一种关系。
对于任意元素 x, y，用 (x, y)={{x}, {x, y}} 表示它们组成的序对（{x, y} 是无序对）。
对于任意两个集合 X，Y，定义卡氏积：
X × Y = {(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y }
称 任何一个 卡氏积的子集 f ⊆ X × Y 为 X 到 Y 的一个二元关系。
如果 关系 f 满足：对于任意 X 中的元素 x，在 Y 中最多只有一元素 y 和 x 有关系，即，
(x, y₁) ∈ f ∧ (x, y₂) ∈ f ⇒ y₁ = y₂
则称 f 为 函数关系，记为 f : X → Y，X 和 Y 分别被称为 原陪域 和 陪域。
对于任意 A ⊆ X，称所有 Y 中和 A 的元素有关系的元素组成的集合为 A 的像集，记为 f(A)，有，
f(A) = { y ∈ Y | ∃ x ∈ X, (x, y) ∈ f }
对于任意 B ⊆ Y，称所有 X 中和 B 的元素有关系的元素组成的集合为 A 的 原像集，记为 f⁻¹(B)，有，
f⁻¹(B) = { x ∈ X | ∃ y ∈ Y, (x, y) ∈ f }
特别当 A = {x} 是单点集时，{y} = f({x}) 简写为 y = f(x)，称，y是x的像，x是y的一个原像。
令，dom f = f⁻¹(Y)，ran f = f(X)，分别成为 定义域 和 值域。
对于 函数关系 f: X → Y ，如果 dom f = X，则称 f 为映射。
对于 映射 f: X → Y，
如果 ran f = Y，称 f 是 满射 或 到上的；
如果 对于任意 y ∈ ran f，y 的原像集 f⁻¹(y) 都是单点集，即，|f⁻¹(y)| = 1，则称 f 是 单射 或 一一的；
既是单射又是满射，称 f 为 双射、一一对应、一一到上的。
一般地，如果 映射 f : X → Y 的陪域 Y 是数域，则称 f 为函数，再 根据 原陪域X 的不同（以下，A 是一般集合，R是实数域，C是复数域，K 是数域，V 和 W 是向量空间，L 和 P 是函数空间）：
称 f: A → R 为集函数；
称 f: R → R 为 实函数；
称 f: C → C 为 复函数；
称 f: V → K 为 多元函数；
称 f: L → K 为 泛函数；
特别地：
称 f: V → W 为 向量函数；
称 f: L → P 为 算子；
大家经常说的函数特指实函数。
另外，称自身到自身的映射 T : X → X，为变换，为双射的变换称为置换。
有些函数除了用序对的集合定义外还可以表示成解析式的形式，称为函数的解析式表达。
常用的 初等函数，有（a, b, c 都是常数）：
常函数：y = c；
线性函数： z = ax + by；
幂函数：y = xᵃ；
指数函数：y = aˣ；
对数函数：y = ln x，y = logₐ x；
三角函数：y = sin x, y = cos x, y = tan x, …；
反三角函数：y = arcsin x, …；
双曲函数：y = sinh x, y = cosh x, …;
常用的 超越函数, 有：
伽玛函数：
贝塔函数：
一些特殊函数：
指示函数（也称 特征函数）：
单位脉冲函数：
单位阶跃函数：
如果函数的解析式写为 f(x, y) = 0 的形式，则称为 隐函数。
如果，函数y = f(x) 是双射，x = f⁻¹(y) 依然是函数，称为反函数。
对于实函数 f, g 可以定义 函数的四则运算：
(f + g)(x) = f(x) + g(x)、 (f – g)(x) = f(x) – g(x)、(fg)(x) = f(x)g(x)、(f/g)(x) = f(x)/g(x)
对于 函数 f: X → Y、g: Y → Z，可以定义函数复合运算 g ∘ f : X → Z，(g ∘ f )(x) = g(f(x))
实函数还具有如下性质：有界性、单调性、奇偶性、周期性、极限、连续性、一致连续性。
最后，函数被广泛的使用在数学的各个领域，扮演者重要角色，也背负不同的本质特性，例如：
《集合论》中的 等价；
《线性代数》中的 （多）线性映射；
《抽象代数》中的 同态和同构；
《拓扑学》中的 拓扑同胚和同轮；
《范畴论》中的 态射、自然变换、函子；
如果觉得《函数的本质是什么 – PHP基础 – 前端 php自动抓取更新》对你有帮助，请点赞、收藏，并留下你的观点哦！
