本文将介绍图拉普拉斯的推导和性质介绍
一.概述
拉普拉斯矩阵,主要应用在图论中,作为一个图的矩阵表示。
以下就是一张图,通俗的说“图”,类似于地图 有地点有道路。
给定一个有n个顶点的图G,它的拉普拉斯矩阵L,用来表示这张图
定义为:L=D-A
其中D为图的度矩阵,A为图的邻接矩阵。
(先了解下定义,可能大家还是有点蒙,请继续往下看)
二.理论推导
1.拉普拉斯算子
对于一个有N个节点的图G,以图1为例有6个节点。图1可以表示为,6个“变量”构成的离散函数f。
Ni表示某节点i的邻居点集合。其中某个节点i的值用xi表示。“j∈Ni”表示节点i的一个邻居节点。
离散函数f为:
后续将f推导为矩阵形式
2.转换为矩阵形式
接下来,将上述的邻居节点集合Ni,转变为矩阵形式。
首先,将图1中的节点取值表示为矩阵形式:
i的邻接矩阵定义为Ai=[ai1,ai2,…,aiN],其中ai1,aiN等均为行矩阵,即邻接矩阵的第1或者第N行。
那么把节点i,展开(没看懂)
这仅仅是一个节点i的拉普拉斯算子。对于所有的节点,再合成一个矩阵。
将上述公式4的两项分别化简为DX和AX
推导结束
最后得到了拉普拉斯矩阵,忽略X,L=D-A
三.性质
1.表示形式
(1)标准拉普拉斯矩阵
解释:
拉普拉斯矩阵的对角线上取值为节点的度
如果节点[公式]和节点[公式]相邻,那么取值为-1
显然,拉普拉斯矩阵为对称的矩阵
(2)归一化的拉普拉斯矩阵
不多介绍,自行了解
2.二次型
3.加权聚合
不多介绍,详细了解的话看以下链接。
参考链接
如果您觉得本文写的不错,欢迎点赞评论收藏!
如果觉得《图拉普拉斯矩阵原理》对你有帮助,请点赞、收藏,并留下你的观点哦!