1、简写MRAS参考模型和可调模型
参考模型和可调模型方程：
简写为如下形式：
参考模型：
可调模型：
定义广义误差为，将上述两个方程做差可以得到如下误差方程。
2、改写为标准前向环节
将上式改写为标准前向环节，方便对于Popov超稳定理论的分析。因为Popov超稳定理论规定了以下两个条件：
线性定常环节传递矩阵必须为严格的正实矩阵。非线性时变反馈环节必须满足Popov积分不等式，即
改写为标准前向环节后的误差方程如下所示：
可以将其表示为下图所示结构：
3、满足Popov超稳定理论的自适应律设计
根据查阅文献可知，对Popov积分不等式逆向求解即可得到MRAS转速估计系统的自适应律。将误差方程带入到Popov积分不等式中时，可以得到：
根据MRAS的基本结构，将估算速度we设计为比例积分的形式，
若能够证明此时的 we 是满足Popov超稳定理论，那么其就可以作为自适应律。证明过程如下：
将估计转速we带入到Popov积分不等式：
将其分解为：
如果上面两个均满足大于等于0，那么就可以证明稳定。
因此可以证明we比例积分形式满足Popov超稳定理论。因此可以对此进行自适应律提取：
将上式写成Pi的形式可得：
其中：
4、容易出错的点
这里讲一个比较容易出错的点，那就是下面这个方程，具体其id是什么，id^又是什么？
我们经过上面的推导，已经知道MRAS的基本观测原理。但是在这个地方，很多同学被以上物理公式混淆了。按照论文中给的这个公式，iq^就是如下公式设计的。但是其实论文中这么表示，极其的不严谨，此处的 id iq 是实际电机反馈的，那么此处的id^iq^也应该是电机反馈电流的估计值。而不是下面两张图这样归一之后的结果：
很多同学往往按照如下这张图去搭建MRAS观测器，结果发现怎么出来都不对。
其实事实上我们分析的时候可以这么分析，但是真的搭建仿真的过程中，还是要按照这个方程式来搭建：
而这个估计出来id^才是这个公式里面的id^
最后以两张图来证实一下，正确的论文中的写法，两张图来自同一篇论文，所以一定要注意。
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