多元线性回归
X表示第 i 个样本的(1,2,3,……n)个特征。
一维多元函数如下,
本节的多维多元函数(每个样本有多个特征)为:
对于一元线性回归,我们的目标是使下式
尽可能小,即,我们预测的结果和真实的结果的差的平方和尽可能的小。对于多元函数,我们的目标是找到
使得
尽可能小。
令
我们可认为
此时
设想有一个矩阵
相应的
可得一个列向量:
因此,我们的目标可转变为求
使得
尽可能小。
推导过程比较复杂,可直接使用如下推导结果(感兴趣的可以从书中或者互联网查阅推导结果):
正规方程解
由上式所得的公式
就称为多元线性回归的正规方程解(Normal Equation)
其实,所求解是存在问题的,我们使用朴素的矩阵的运算方式求解此式的时间复杂度是比较高的,为 O(n^3),虽然对于解决
矩阵是有一些加速方案的,但使用加速方案,整体优化出来也是O(n^2.4).
这样做也有一个优点,就是不需要对数据做归一化处理。
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