求导的符号运算
这是最近做的一个python的小项目，内容是实现求导的符号运算，虽然我最终的实现化简能力能力比较弱，但是还是一个很有意思的项目。
语法树的建立
语法树的结构
语法树是我这个项目里面所有表达式的存在形式。
树的一个结点要么是字符串(常数或者变量)，要么是内部结点，内部结点代表一棵子树，对应存储的结构体有两个字段:根存储的运算和子结点的列表，列表元素个数是操作符的元数，列表元素是子结点。
例如前缀表达式(+ (* x 2) 1)表示2x+1，那么对应的树根结点是’+’，对应的子结点列表是[tree(2x), 1],其中tree(2x)又是一棵子语法树，根为’*’,对应子结点的列表是[2, x]。即语法树是递归定义的，最终叶子结点是常量或者变量。
前缀表达式转化为语法树
我的项目中约定输入前缀表达式，即类似lisp的表达式，所以转化非常方便。
对于前缀表达式(op arg0, arg1, …, argn)，先读入op为根结点操作符，然后读入参数列表即可建立语法树，注意读入参数列表过程中可能读到表达式，需要递归建树。
语法树的运算
求值
利用前缀表达式的算法递归求值即可。遇到变量，代入具体数值即可。
设calculate(tree,x)计算tree在变量取值x时候的值。
求函数
因为要求一个函数而不是具体数值，所以需要返回一个函数或者lambda表达式，可以实现func(tree) 为lambda x: calculate(tree, x)。
求导
这里是算法的核心。
对于二元运算，算法为递归求导，规则如下:
1.叶子结点：x导数为1，常数导数为0。
2.非叶子结点，左右子树为l，r。那么结点的运算来递归求导:
(l+r)′=l′+r′
(l−r)′=l′−r′
(l∗r)′=l∗r′+l′∗r
(l/r)′=(l′∗r−l∗r′)/(r2)
(lr)′=(rlr−1)∗l′+ln(l)lr∗r′
手动实现这五条规则即可。
对于一元函数，有统一的计算方法，即链式法则:
h(g(x))′=h′(g(x))∗g′(x)
所以需要保存一个函数表，保存下每一个函数的导函数，利用链式法则递归计算即可。注意我们这儿并不保存导函数的函数形式，而是保存如何建立导函数语法树的lambda表达式。、
例如，ln(x)的导函数就是lambda x: ExpTree(‘\’, [1, x])。
语法树化简
因为上述的求导规则经常会产生0或者1项，例如:
(2∗x)′=(2)′∗x+2∗(x)′=0∗x+2∗1
所以需要化简，规则为:
1. 0+M=M+0=M
2. M−0=M
3. 1∗M=M∗1=M
4. 0∗M=M∗0=0
5. M/1=M
6. 0/M=0
7. M1=M
8. 0M=0
手动实现规则即可。
要注意的是，需要先化简子树来递归化简。另外，如果左右子树都是常数，可以直接计算。
界面和交互
界面需要用户输入前缀表达式和运算指令，输出对应的函数或者函数值，另外输出对应函数的时候，为了直观，除了函数的中缀表达式，我还输出了函数图像。
交互上我没有花和大力气，所以格式相对比较死板，不过提供了足够的帮助信息，应该用起来很方便。
还需要改进的地方
但是，这毕竟只是一个耗时一天不到的小项目，要改进的地方还有很多:
１.这个项目不能运用运算律和函数性质化简，所以以下这些化简，暂时无法完成:
x-x=0，2x+3x=5x，sinx * sinx + cosx * cosx=1，ln(exp(x))=x。
2.这个项目暂时不支持自己指定中间函数，这个涉及到词法语法分析等等，没有实现。
3.对于重复表达式没有共享而是一一计算，没有优化。
但是毕竟这是一个轻量级项目，所以不准备加入这些特性了。
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