这篇笔记来自清风老师和自己学习整理
一、符号的创建和简单运算
%% 符号变量的创建和简单运算% 简单符号变量的创建syms x % sym是symbolic的缩写syms a b c% 符号方程的创建，有两种方法%第一种：syms a xy = a*x+x^2%第二种：% y = str2sym('a*x+x^2') %Matlab b 版本后推出% 符号矩阵syms alphaM = [cos(alpha) -sin(alpha);sin(alpha) cos(alpha)]%% 简单运算syms a b c d ey = a + bx = c - dy1 = x*y % (a + b)*(c - d)y2 = y1/y % c - dy3 = y1^3 % (a + b)^3*(c - d)^3y4 = sqrt(y3) % ((a + b)^3*(c - d)^3)^(1/2)y5 = exp(y4) % exp(((a + b)^3*(c - d)^3)^(1/2))%% 符号表达式的整理clear;clc% 化简syms ay=(cot(a/2)-tan(a/2))*(1+tan(a)*tan(a/2))simplify(y) % 2/sin(a)%% 因式分解factor(12) % 对常数进行因式分解 %223syms m n xy = -24*m^2*x-16*n^2*xfactor(y)% [ -8, x, 3*m^2 + 2*n^2]y1=m^3-n^3factor(y1)% [ m - n, m^2 + m*n + n^2]%% 多项式展开syms a xy = a*(x^2-a)^2+(x-2)expand(y)% a^3 - 2*a^2*x^2 + a*x^4 + x - 2%% 合并syms x yz = (x+y)^2*y+5*y*x-2*x^3% expand(z) - 2*x^3 + x^2*y + 2*x*y^2 + 5*x*y + y^3collect(z,x)% y*x^2 - 2*x^3 + (2*y^2 + 5*y)*x + y^3collect(z,y)% y^3 + 2*x*y^2 + (x^2 + 5*x)*y - 2*x^3%% 计算分子与分母% [z1,z2] = numden(2.5) % 会报错，因为numden的输入变量不能是数值，只能是符号变量% ans = sym(2.5); % sym函数可以将数值2.5转换为符号[z1,z2] = numden(sym(2.5)) % 对常数计算分子与分母% z1 = 5% z2 = 2syms x yz = 1/x*y+x/(x^2-2*y)[z1,z2] = numden(z) %z1分子，z2分母% z1 = - x^2*y - x^2 + 2*y^2% z2 = x*(- x^2 + 2*y)%% 让结果显示的更加自然syms x yM = (1/x*y+x/(x^2-2*y)-x^2/(3+y)^2)^2;expand(M) % y^2/x^2 + x^4/(y^4 + 12*y^3 + 54*y^2 + 108*y + 81) + (2*x^3)/(- x^2*y^2 - 6*x^2*y - 9*x^2 + 2*y^3 + 12*y^2 + 18*y) - (2*y)/(- x^2 + 2*y) + x^2/(x^4 - 4*x^2*y + 4*y^2) - (2*x*y)/(y^2 + 6*y + 9)mupad % 未来的版本可能会移除这个mupad工具箱，可以点击Matlab的主页，新建实时脚本
二、符号函数的求导
%% 符号函数的求导clear;clc% 一元函数的导数syms xy = x^4-5*x^2+6diff(y) %求一阶导数 4*x^3 - 10*xdiff(y,2) %求二阶导数 12*x^2 - 10y = cos(x)*tan(x)dy = diff(y,10) %求十阶导数simplify(dy)y = sin(x)*tan(x)dy = diff(y,10) %求十阶导数simplify(dy)% 多元函数的导数syms x1 x2 x3y1 = x1^5*x2+x2*x3-x1^2*x3py1 = diff(y1,x1,1) % 对x1求一阶偏导 5*x2*x1^4-2*x3*x1py2 = diff(y1,x1,2) % 对x1求二阶偏导 20*x2*x1^3-2*x3py3 = diff(y1,x1,x2) % 先对x1求偏导，再对x2求偏导 5*x1^4py4 = diff(y1,x2,x1) % 先对x2求偏导，再对x1求偏导 5*x1^4%% 如果diff函数作用的对象不是符号函数，而是矩阵，那么对应的功能是求差分A=[4 5 6 3 2 1];diff(A) % 求向量A的一阶差分% 11 -3 -1 -1diff(A,2) % 在一阶差分的基础上再差分一次% 0 -420A=[4 5 6; 7 4 2;5 6 2]A1=diff(A) % 下一行减去上一行求一阶差分%3 -1 -4%-220A2=diff(A,2) % 下一行减去上一行求二阶差分（在一阶差分的基础上再差分一次）%-534A3=diff(A,2,1) % 最后面的1表示在行上进行差分（在列的方向上进行差分）%-534A4=diff(A,1,2) % 后一列减去前一列求一阶差分，最后面的2表示在列上进行差分（在行的方向上进行差分）%11%-3 -2%1 -4A4=diff(A,2,2) % 后一列减去前一列求二阶差分%0%1%-5
三、计算定积分和不定积分
%% 计算不定积分clear;clcsyms xy = x^2int(y,x)% x^3/3% 注意：Matlab计算时不会给我们加上常数Csyms xy = 1/xint(y,x) % log(x)% 注意：Matlab计算1/x形式的不定积分时不会给我们加上绝对值syms xy = x^2 / (1+x^2)int(y,x) % x - atan(x)syms xy = 1/(exp(x)+1)int(y,x) % x - log(exp(x) + 1)syms x ay = 1/sqrt(x^2-a^2)int(y,x)% log(x + (x^2 - a^2)^(1/2))%% 计算定积分syms xy = sin(x)int(y,x,0,pi/2) % 1syms x a by = exp(x)int(y,x,a,b) % exp(b) - exp(a)syms xy = (sin(x))^2 / x^2b=int(y,x,0,+inf) % pi/2% 注意，不是所有的函数都可以利用int函数计算出最后的结果，如：syms xy = 1 / exp(x) * log(x+2*x^2+sin(x))int(y,x,0,4) % int(exp(-x)*log(x + sin(x) + 2*x^2), x, 0, 4)% 我们可以计算数值积分：数值积分可用于求定积分的近似值% 在数值分析中，数值积分是计算定积分数值的方法和理论% 在数学分析中，给定函数的定积分的计算不总是可行的% 许多定积分不能用已知的积分公式得到精确值y = @(x) 1 ./ exp(x) .* log(x+2.*x.^2+sin(x)) % 注意，写成函数句柄时，要用点乘或者点除integral(y,0,4)xx = 0:0.1:4;yy = 1 ./ exp(xx) .* log(xx+2*xx.^2+sin(xx));plot(xx,yy,'-')
四、求解方程和方程组
%% matlab求解方程和方程组% 不同的MATLAB版本之间的语法可能存在不兼容的情况%% 1.solve函数%% 例题1: 求解单变量方程clear;clcsyms xansw = solve(sin(x) == 1, x) % 注意：这里的等号一定要有两个，一个等号表示赋值，两个等号才表示左右两边相等answ = solve(sin(x) == 1) % 只有一个符号变量x，所以可以不指定未知数% 也可以这样写：clear;clcsyms xeqn = (sin(x) == 1); % eqn = sin(x) == 1; answ = solve(eqn, x)% 因为三角函数是周期函数，如果要得到所有的解，则需要加上条件[answ, params, condions] = solve(eqn, x, 'ReturnConditions', true)%% 例题2: 多变量方程求解clear;clcsyms a b c xeqn = (a*x^2 + b*x + c == 0);answ1 = solve(eqn, x) % 将x视为未知数求解 % -(b + (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)% -(b - (b^2 - 4*a*c)^(1/2))/(2*a)answ2 = solve(eqn, a) % 将a视为未知数求解% -(c + b*x)/x^2%% 例题3：方程组求解clear;clcsyms u v aeqn = [2*u + v == a, u - v == 1];answ = solve(eqn, [u, v])answ.uansw.v[answ_u, answ_v] = solve(eqn, [u, v])%% solve 可能会警告 可以用下面的函数解决syms xeqn = (sin(x) == x^2 - 1);solve(eqn, x) % 警告: Cannot solve symbolically. Returning a numeric approximation instead. % 画图看看 fplot(sin(x), [-2 2]) % fplot函数可绘制表达式的图形hold on % 不关掉上一个图 继续在这个图上作图fplot(x^2 - 1, [-2 2]) %% 2.vpasolve函数求解% 用vpasolve函数指定求某个区间上的解syms xeqn = sin(x) == x^2 - 1;vpasolve(eqn, x, [0 2])vpasolve(eqn, x, [-1 0])vpasolve(eqn, x, [-10 10])% vpasolve returns all solutions only for polynomial equations. % For nonpolynomial equations, there is no general method of finding all solutions.% When you look for numerical solutions of a nonpolynomial equation or system that has several solutions,% then, by default, vpasolve returns only one solution, if any. % To find more than just one solution, set random to true. % Now, calling vpasolve repeatedly might return several different solutions.vpasolve(eqn, x, 'random', true) vpasolve(eqn, x, -5) % 给定搜索的起始点%% 来看一个更复杂的例子syms x yeqn = [x^2 - 2*x - 3*x*y == 10, y^4 == exp(-2*x/3*y)][answ_x, answ_y] = vpasolve(eqn, [x, y], 'random', true)% 画图看看ezplot(x^2 - 2*x - 3*x*y == 10, [-10 10])hold onezplot(y^4 == exp(-2*x/3*y), [-10 10])close % 关闭图形% 比起ezplot函数，下面这个函数比较厉害：fimplicit(x^2 - 2*x - 3*x*y == 10, [-10 10],'r') % Rb版本之后才有hold onfimplicit(y^4 == exp(-2*x/3*y), [-10 10],'b') % Rb版本之后才有[answ_x, answ_y] = vpasolve(eqn, [x, y],[-4 -1;1 5]) % 指定搜索的范围：x位于[-4 -1], y位于[1 5]hold onplot(answ_x, answ_y,'ko', 'MarkerSize',10) % plot(double(answ_x), double(answ_y),'ko', 'MarkerSize',10) % double可以将我们的符号变量转换为数值变量%% 3.fsolve函数（求解功能最为强大）% fsolve是Matlab优化工具箱中的一个函数，可专门用来求解特别复杂的方程和方程组x0 = [0,0]; % 初始值result_x = fsolve(@my_fun,x0)% 当然也可以用vpasolve函数试试clear; clcsyms x1 x2eqn = [exp(-exp(-(x1+x2))) - x2*(1+x1^2) == 0, x1*cos(x2) + x2*sin(x1) - 0.5 == 0][answ_x1, answ_x2] = vpasolve(eqn, [x1, x2], [0 0])
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