机器数和机器数的真值
一个数在计算机中的二进制表示形式,叫做这个数的机器数。机器数是带符号的,在计算机用机器数的最高位存放符号,正数为0,负数为1。举个例子,比如在机器字长为8位的情况下(机器字长是指计算机直接处理的二进制数据的位数,它决定了计算机的运算精度,一般是8的整数倍,8位、16位、32位、64位、128位),十进制中的+3,转换成二进制就是0000 0011,如果是-3,转换成二进制就是1000 0011。转换的二进制数0000 0011和1000 0011就是机器数。
这里我们还需要知道的就是机器数的真值,由于机器数的第一位是符号位,所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数1000 0011,其最高位1代表负,其真正数值是-3,而不是形式值131(1000 0011转换成十进制等于131),所以,为了区别起见,将带符号的机器数对应的真正数值成为机器数的真值。比如0000 0001的真值 = +000 0001 = +1,1000 0001的真值 = –000 0001 = –1
原码、反码和补码的基础概念和计算方法
上面我们了解了机器数,也就是二进制数,不过计算机要使用一定的编码方法进行储存,原码、反码和补码就是机器存储一个具体数字的编码方式。
原码
原码就是符号位加上真值的绝对值,即用第一位表示符号,其余位表示值,比如:如果8位二进制:
[+1]原= 0000 0001
[-1]原= 1000 0001
第一位是符号位,因为第一位是符号位,所以8位二进制数的取值范围就是:(即第一位不表示值,只表示正负。)[1111 1111 , 0111 1111],也就是十进制的[-127 , 127](小声哔哔,其实可以说成原码是带符号的机器数)
反码
正数的反码就是其本身,负数的反码是其原码的基础上,符号位不变,其余各个位取反。
[+1] = [0000 0001]原= [0000 0001]反
[-1] = [1000 0001]原= [1111 1110]反
补码
补码的表示方法是,正数的补码就是其本身,负数的补码是在其原码的基础上,符号位不变,其余各位取反,最后+1(也就是在其反码的基础上+1)
[+1] = [0000 0001]原= [0000 0001]反= [0000 0001]补
[-1] = [1000 0001]原= [1111 1110]反= [1111 1111]补
知道了这三个基本概念之后,值得一提的是,如果用反码相加,会产生两个零的问题(-0和+0),所以我们使用补码,不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题,而且还能够多表示一个最低数。这就是为什么8位二进制,使用原码或反码表示的范围为[-127, +127],而使用补码表示的范围为[-128, 127]。因为机器使用补码,所以对于编程中常用到的有符号的32位int类型,可以表示范围是: [-2^31, 2 ^ 31-1] 因为第一位表示的是符号位,而使用补码表示时又可以多保存一个最小值。
位运算基本操作
加法
不考虑进位的按位求和, 异或只考虑进位,只有(1,1)才会产生进位,使用按位与可以满足要求。 当前位产生进位,要参与高一位的运算,因此按位与后要向左移动一位。递归求和,直到进位为0int add(int a,int b) {int carry,add;do{add = a^b;carry = (a&b)<<1;a = add;b=carry;}while(carry!=0);return add;}
减法
我们知道了位运算实现加法运算,那减法运算就相对简单一些了。我们实现了加法运算,自然的,我们会想到把减法运算11 - 6变形为加法运算11 + (-6),即一个正数加上一个负数。是的,很聪明,其实我们的计算机也是这样操作的,那有的人会说为什么计算机不也像加法器一样实现一个减法器呢?对的,这样想当然是合理的,但是考虑到减法比加法来的复杂,实现起来比较困难。为什么呢?我们知道加法运算其实只有两个操作,加、 进位,而减法呢,减法会有借位操作,如果当前位不够减那就从高位借位来做减法,这里就会问题了,借位怎么表示呢?加法运算中,进位通过与运算并左移一位实现,而借位就真的不好表示了。所以我们自然的想到将减法运算转变成加法运算。怎么实现呢?
刚刚我们说了减法运算可转变成一个正数加上一个负数,那首先就要来看看负数在计算机中是怎么表示的。
+8在计算机中表示为二进制的1000,那-8怎么表示呢?很容易想到,可以将一个二进制位(bit)专门规定为符号位,它等于0时就表示正数,等于1时就表示负数。比如,在8位机中,规定每个字节的最高位为符号位。那么,+8就是00001000,而-8则是10001000。这只是直观的表示方法,其实计算机是通过2的补码来表示负数的,那什么是2的补码(同补码,英文是2’s complement,其实应该翻译为2的补码)呢?它是一种用二进制表示有号数的方法,也是一种将数字的正负号变号的方式,求取步骤:
第一步,每一个二进制位都取相反值,0变成1,1变成0(即反码)。
第二步,将上一步得到的值(反码)加1。
简单来说就是取反加一!先转换为加法: a-
b = a+(-b) = a+(~b+1)
int subtraction(int a,int b){return add(a,add(~b,1));}
乘法
//a 被乘数,b 乘数int multiplication(int a,int b){int i = 0;int res = 0;//乘数不为0while (b != 0){//处理当前位//当前位是1if ((b & 1) == 1){res += (a << i);b = b >> 1;//记录当前是第几位i++;}else {//当前位是0b = b >> 1;i++;}}return res;}
除法
考虑我们现实生活中手动求乘积的过程,这种方式同样适用于二进制,下面我以13*14为例,向大家演示如何用手动计算的方式求乘数和被乘数绝对值的乘积。
从上图的计算过程可以看出,如果乘数当前位为1,则取被乘数左移一位的结果加到最终结果中;如果当前位为0,则取0加到乘积中(加0也就是什么也不做)
(1) 判断乘数是否为0,为0跳转至步骤(4)
(2) 将乘数与1作与运算,确定末尾位为1还是为0,如果为1,则相加数为当前被乘数;如果为0,则相加数为0;将相加数加到最终结果中;
(3) 被乘数左移一位,乘数右移一位;回到步骤(1)
(4) 确定符号位,输出结果;
//a 被乘数,b 乘数int multiplication(int a,int b){int i = 0;int res = 0;//乘数不为0while (b != 0){//处理当前位//当前位是1if ((b & 1) == 1){res += (a << i);b = b >> 1;//记录当前是第几位i++;}else {//当前位是0b = b >> 1;i++;}}return res;}
参考链接
彻底搞清楚Java的位运算(位实现加减乘除): 彻底搞清楚Java的位运算(位实现加减乘除).
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