多项式曲线——搞清楚贝塞尔曲线、B样条曲线、nurbs曲线的区别

贝塞尔曲线Bezier曲线定义Bernstein基函数的性质Bezier曲线的性质B样条曲线B样条曲线定义B样条基函数的性质B样条曲线的分类Nurbs曲线Nurbs曲线的定义Nurbs曲线的性质

贝塞尔曲线

Bezier曲线定义

贝塞尔曲线由一组控制点Pi∈R2，0≤i≤nP_i∈R^2，0≤i≤nPi​∈R2，0≤i≤n构成，其方程为：

多项式Bi(t)B_i (t)Bi​(t)称为伯恩斯坦（Bernstein）（Bernstein）（Bernstein）基函数。Bezier曲线是控制多边形的控制点关于伯恩斯坦基函数的加权和，Bezier曲线的次数都为n，需要n+1n+1n+1个控制点来定义。

Bernstein基函数的性质

非负性端点性质权性对称性导函数

Bezier曲线的性质

端点性质一阶导数二阶导数对称性凸包性质几何不变性仿射不变性变差缩减性

B样条曲线

B样条曲线定义

为了能描述复杂形状具有局部性质。改用特殊的基函数即B样条基函数代替Bernstein基函数。一条次数为j的平面B样条曲线，由一组控制点Pi∈R2P_i∈R^2Pi​∈R2和一组节点矢量tit_iti​组成，其方程为：

由考克斯德布尔递归公式定义的基函数为：

其中，

约定0/0=0；控制点的个数为n+1；节点个数为n+k+2；基函数的阶次为j+1，次数为j；

B样条基函数的性质

递推性规范性；局部支撑性连续性；

B样条曲线的分类

均匀B样条曲线；准均匀B样条曲线；分段Bezier曲线；非均匀B样条曲线；

Nurbs曲线

Nurbs方法在有理Bezier方法与非有理B样条方法的基础上，引入了权因子和分母。主要优点如下：

将初等曲线曲面与自由曲线曲面的表达方式统一起来；增加了权因子，有利于对曲线曲面的形状控制和修改；非有理B样条、有理、非有理Bezier方法是Nurbs的特例；在比例、旋转、平移、错切以及平行和透视投影变化下是不变的；

Nurbs曲线的定义

平面非均匀有理B样条曲线(Non-Uniform Rational B-Splines，简称NURBS)曲线为：

其中，ωi,i=0,1,…,nω_i,i=0,1,…,nωi​,i=0,1,…,n为权因子，分别于控制点Pi,i=0,1,…,nP_i,i=0,1,…,nPi​,i=0,1,…,n相联系。

Nurbs曲线的性质

曲线过两端点；局部修改性质；变差减小性质；强凸包性；仿射和透视变换不变性；参数连续性；某一个权因子为0，则相应的控制点对曲线没有影响；某一个权因子为无穷大，则在相应的参数范围内该点为控制点；不包含内节点的Nurbs曲线是有理Beizer曲线。

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