一、一维离散傅里叶变换
1、离散傅里叶变换理论
2、傅里叶变换的矩阵形式(内积需要共轭,所以会存在负号)
3、DFT矩阵
4、DFT转置(H表示既要转置也要取共轭)
5、DFT合成
6、傅里叶变换的例子
左图使用两个频率产生的,一个为100赫兹,一个为260赫兹。再加一些白噪声。
图右是经过傅里叶变换之后的幅度谱,通过幅度谱,可以看出有两个峰值,峰值在100以及260左右。
二、二维离散傅里叶变换
1、二维离散傅里叶变换
以图像为例,n1,n2表示像素点的坐标。
k1表示x方向的空间频率,k2表示y方向的空间频率。
2、图像的例子
对图像做傅里叶变换,计算图像的频率普。
上左----------->上右 傅里叶变换--------->频率普-------->得到三个白点,中间的白点表示其直流分量,左右的白点是它的频率。傅里叶变换不分正负,所以左右的白点分别是其正频率与负频率。
下左----------->下右 傅里叶变换--------->频率普-------->得到三个白点,中间的白点表示其直流分量,上下的白点是它的频率。傅里叶变换不分正负,所以上下的白点分别是其正频率与负频率。
例子2
例子3
例子4、自然图像的幅度谱(绝大部分的能量还是集中在低频成分)
傅里叶变换会将一个实信号变为一个复信号,复数信号的话,就会存在实部和虚部,那么我们可以用极坐标的形式来表示它,即我们可以计算它的幅度谱和相位谱。--------->虚部比上实部,取arctan,就是它的相位,或者角度。
在傅里叶变换当中,幅度谱重要,还是相位谱重要?
以下图为例:
我们取图像1的幅度谱与图像2的相位谱结合,再做反向傅里叶变换;我们取图像1的相位谱与图像2的幅度谱结合,再做反向傅里叶变换。我们得到的实验结果如下
所以由结果可知,图像的相位谱包含图像的信息程度高,所以还是相位谱重要。
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