数字图像处理学习笔记 离散傅里叶变换

一、一维离散傅里叶变换

1、离散傅里叶变换理论

2、傅里叶变换的矩阵形式（内积需要共轭，所以会存在负号）

3、DFT矩阵

4、DFT转置（H表示既要转置也要取共轭）

5、DFT合成

6、傅里叶变换的例子

左图使用两个频率产生的，一个为100赫兹，一个为260赫兹。再加一些白噪声。

图右是经过傅里叶变换之后的幅度谱，通过幅度谱，可以看出有两个峰值，峰值在100以及260左右。

二、二维离散傅里叶变换

1、二维离散傅里叶变换

以图像为例，n1,n2表示像素点的坐标。

k1表示x方向的空间频率,k2表示y方向的空间频率。

2、图像的例子

对图像做傅里叶变换，计算图像的频率普。

上左----------->上右 傅里叶变换--------->频率普-------->得到三个白点，中间的白点表示其直流分量，左右的白点是它的频率。傅里叶变换不分正负，所以左右的白点分别是其正频率与负频率。

下左----------->下右 傅里叶变换--------->频率普-------->得到三个白点，中间的白点表示其直流分量，上下的白点是它的频率。傅里叶变换不分正负，所以上下的白点分别是其正频率与负频率。

例子2

例子3

例子4、自然图像的幅度谱（绝大部分的能量还是集中在低频成分）

傅里叶变换会将一个实信号变为一个复信号，复数信号的话，就会存在实部和虚部，那么我们可以用极坐标的形式来表示它，即我们可以计算它的幅度谱和相位谱。--------->虚部比上实部，取arctan，就是它的相位，或者角度。

在傅里叶变换当中，幅度谱重要，还是相位谱重要？

以下图为例：

我们取图像1的幅度谱与图像2的相位谱结合，再做反向傅里叶变换；我们取图像1的相位谱与图像2的幅度谱结合，再做反向傅里叶变换。我们得到的实验结果如下

所以由结果可知，图像的相位谱包含图像的信息程度高，所以还是相位谱重要。

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