本节书摘来异步社区《量化金融R语言初级教程》一书中的第2章，作者： 【匈牙利】Gergely Daróczi（盖尔盖伊） , 等 译者： 高蓉 , 李茂 责编： 胡俊英，更多章节内容可以访问云栖社区“异步社区”公众号查看。
第2章投资组合优化
量化金融R语言初级教程
到现在为止，我们已经熟悉了R语言的基础。我们知道如何去分析数据、调用它的内置函数并把它们运用到我们选择的时间序列分析问题上。在本章中，我们既运用这些知识，又通过一种重要的实践应用来扩展这种知识，即投资组合分析，换句话说也叫证券选择。这一节涵盖了投资组合优化背后的思想：数学模型和理论求解。为了提高编程技巧，我们使用真实数据解决一个现实中的问题，并逐行实施算法。同时，我们也在相同的数据集上使用预先写好的R包。
想象我们生活在一个热带岛屿，只有100美元可以投资。这个岛上的投资机会相当有限。我们可以把全部资金投资到冰淇淋上或雨伞上。收益取决于天气，如表2-1所示。
假定天气是晴天或是雨天的概率相同。如果我们不能预知天气或者改变天气，这两种选择的概率显然相等，我们投资于其中任何一种，都会得到5%的预期收益率［(0.5×120+0.5×90)/100−1=0.05］。
如果我们可以把资金分配在冰淇淋和雨伞之间，那该如何划分资金？我们应该在两种备选中各投资50美元。无论会发生什么，我们会在一种资产上赚到45美元而在另一种资产上赚到60美元，因此，这个组合没有风险。预期收益率仍然是5%，但因为(45+60)/100−1=0.05，现在的收益获得了保障。
这个例子抓住了投资组合优化的主要概念（正是因为这个理论，哈里•马科维茨在1990年获得诺贝尔奖）。通过考虑投资产品之间的相关性，我们可以在保持想要的预期收益率不变的前提下减少投资组合的风险（在这个例子里由方差来表示）。
为了得到精确的数学表达式，令X和Y是随机变量，各自方差有限并分别为sigma _x^2和sigma _y^2。它们的凸组合或仿射组合的方差显示在下面的二次函数中。
f(\alpha ){\rm{ = Var}}(\alpha X + (1 - \alpha )Y) = {\alpha ^2}\sigma _x^2 + {(1 - \alpha )^2}\sigma _y^2 + 2\alpha (1 - \alpha )Cov(X,Y)
对于它们相关系数的不同值，这个二次函数如图2-1所示。
当且仅当X和Y的相关系数为−1，并且X和Y的方差相同时，方差（作为风险的一种度量）可以完全消除掉（译者注，原文此处有误）。否则，我们会在后面的“定理（拉格朗日）”这一节中看到，权重最优的投资组合的方差取决于（以一种完全不平凡的方式）所有3个参数，分别是sigma _x^2、sigma _y^2以及Cov(X,Y)。
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