第2章 一致预期收益率：资本资产定价模型

2.1 导言

CAPM的重要衍生品是一套确定一致预期收益率的步骤。主动管理决策就是我们的预测与一致预期收益率之间的差异驱动的。

本章要点

任何股票收益率都可以分为系统性（市场）和非系统性（残差）部分CAPM要求残差收益率期望为0CAPM容易理解，也相对容易实践CAPM有一个关于市场有效的逻辑CAPM认为被动管理是主动管理的低风险替代选择CAPM为一致预期收益率提供了有效来源。主动基金经理的成功程度与其预测优于一致预测的程度相匹配CAPM讨论的是预期收益率，而非风险

预测收益率方法问题

历史收益率替代法：1. 历史数据包含大量样本误差；2. 股票样本空间随时间变化套利定价理论（arbitrage pricing theory, APT）：不能作为一致预期收益率来源

2. 2 收益率分解

考虑任意一个投资组合PPP，组合PPP的收益率为rPr_PrP​，市场组合MMM的超额收益率为rMr_MrM​，超额收益率即市场组合收益率减无风险资产的收益率。定义组合的βP\beta_PβP​为

βP=Cov(rP,rM)Var(rM)\beta_P=\frac {Cov(r_P,r_M)}{Var(r_M)} βP​=Var(rM​)Cov(rP​,rM​)​

βP\beta_PβP​是对未来的预测值，但其观念和名称却来自历史数据的回归。用组合PPP的超额收益序列rPr_PrP​对市场超额收益率序列rMr_MrM​回归。

rP(t)=αP+βPrM(t)+ϵP(t)r_P(t)=\alpha_P+\beta_Pr_M(t)+\epsilon_P(t) rP​(t)=αP​+βP​rM​(t)+ϵP​(t)

这一计算得到的βP\beta_PβP​与αP\alpha_PαP​均称作历史的β\betaβ与α\alphaα，但可以作为未来β\betaβ与α\alphaα的合理预测。

基于以上思路，如果已知组合β\betaβ，可以将其超额收益分解为市场和残差两部分

rP=βPrM+θPr_P=\beta_Pr_M+\theta_P rP​=βP​rM​+θP​

其中θP\theta_PθP​为残差收益率，与市场收益率rMr_MrM​不相关。同时，可以将组合方差进行分解：

σP2=βP2σP2+ωP2\sigma^2_P=\beta^2_P\sigma^2_P+\omega^2_P σP2​=βP2​σP2​+ωP2​

β\betaβ使任意投资组合可以被分解为市场部分和残差部分，且两者不相关。目前CAPM并无前提假设。

2.3 CAPM

CAPM模型下，任何股票和投资组合的残差收益率为零，即E(θP)=0E(\theta_P)=0E(θP​)=0，因此预期超额收益率与股票的β\betaβ成正比。此处对于市场组合必然成立，但隐含了所有投资者预期均相同的假设，过于严格。

2.4 CAPM的合理性

CAPM逻辑：投资者承担的必要风险会得到补偿，非必要风险不会得到任何补偿。所有持有不同于市场组合的投资者，都在进行一个零和游戏。

2.5 CAPM和有效市场理论

有效市场假说

弱有效：技术分析无效半强有效：技术分析+基本面分析无效（公开信息无效）强有效：所有分析都无效

CAPM同样认为投资者不能战胜市场，因为所有持有非市场组合的投资者里一定有残差收益率为负的“更傻的傻瓜”，只要不存在这样的傻瓜，投资者就无法战胜市场组合。

2.6 预期收益率与投资组合

2.7 后验与先验

关于预期：

根据CAPM可画出SML（security market line，证券市场线）：横坐标为所有股票的β\betaβ，纵坐标为对应年化收益率。斜率为市场组合超额收益率rMr_MrM​，纵截距为无风险收益iFi_FiF​。

关于后验：

不稳定市场线（insecurity），将股票实际收益率画入上述图中。当实际收益率点落在CAPM预测点下方，投资者取得超额收益。

2.8 一个例子

2.9 CAPM效果如何

CAPM中，关于任何股票都不存在超额收益这一结论显然不符合常理。但经历了几百年的研究与实践，CAPM依然很难被推翻。

2.10 与主动投资经理的关联

收益率分解不需要任何理论，只需要预测β\betaβ，可以帮助投资经理控制风险。CAPM的思路可以避免市场择时的风险，并集中精力研究一致预期为0的残差收益率。

2.11 β\betaβ的预测与预期市场收益率

2.12 总结

2.13 问题

2.14 本章附注

2.15 参考文献

2.16 技术附录

风险定义为超额收益率的年华标准差。单一投资期。基础假设

存在一个无风险资产所有一阶矩和二阶矩均存在不存在零风险的投资组合组合C（最小方差组合）预期超额收益率为正值

特征组合：代表某种属性的组合，唯一地定义资产的某种属性。通过计算一个资产与特征组合的协方差来确定组合对该属性的暴露值。

命题

命题1: 对任意一个属性a≠0a\neq0a​=0，对aaa具有单位暴露的所有组合中，存在唯一一个组合hah_aha​使得风险最小，称为aaa的属性组合

ha=V−1aaTV−1ah_a=\frac{V^{-1}a}{a^TV^{-1}a} ha​=aTV−1aV−1a​

命题2：特征组合hah_aha​的方差如下

σa2=haTVha=1aTV−1a\sigma^2_a=h^T_aVh_a=\frac{1}{a^TV^{-1}a} σa2​=haT​Vha​=aTV−1a1​

命题3：全体资产对组合h_a的β\betaβ等于aaa

a=Vhaσa2a=\frac{Vh_a}{\sigma^2_a} a=σa2​Vha​​

命题4：对于两个属性aaa与ddd，令ada_dad​和dad_ada​分别为组合hah_aha​对特征aaa的暴露及组合hdh_dhd​对特征ddd的暴露，两个特征组合协方差满足

σa,d=adσa2=daσa2\sigma_{a,d}=a_d\sigma^2_a=d_a\sigma^2_a σa,d​=ad​σa2​=da​σa2​

命题5：如果KKK是一个正实数，则属性KaKaKa的特征组合是ha/Kh_a/Kha​/K。特征组合对其属性只能具有单位暴露度。

命题6：如果特征aaa是特征ddd和fff的加权线性组合，则aaa的特征组合也是ddd和fff的加权线性组合

ha=(Kdσa2σd2)hd+(Kfσa2σf2)hfh_a=(\frac{K_d\sigma^2_a}{\sigma^2_d})h_d+(\frac{K_f\sigma^2_a}{\sigma^2_f})h_f ha​=(σd2​Kd​σa2​​)hd​+(σf2​Kf​σa2​​)hf​

其中

1σa2=(Kdadσd2)+(Kfafσf2)\frac{1}{\sigma^2_a}=(\frac{K_da_d}{\sigma^2_d})+(\frac{K_fa_f}{\sigma^2_f}) σa2​1​=(σd2​Kd​ad​​)+(σf2​Kf​af​​)

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