在Matlab的小波工具箱中，可以设置9种数据边界的控制模式。除per
(periodization)之外的模式，其做256点数据的8级分解的结果的数据量，可能比256大几倍。居士早年的处理，结果始终是256点，如果要扔掉旧程序、转入Matlab小波工具箱，那么应对模式per最感兴趣，因为在Matlab中其变换结果数据量最小，所以可能最易兼容。此外，Matlab也声明：其1维、2维平稳小波变换(swt)，也是用per模式定义的。
对滤波器序列，以偶数为周期做周期化，然后用其偶数平移系分解单位矩阵的测试，可以给类似于per模式中的各级分解与合成，提供条件。而且，在小波包树上，不同块上使用的滤波器序列、周期长度可以完全独立，可以有多种混合。
如果，不强求相间隔的尺度上的二进栅格采样的关系，在每个尺度上都只求周期为偶数，那么至多只需要补充一个点就可以把数据长度变为偶数。当然，在逆变换时，要相应地除去延拓部分，这是技巧，而不是分解单位矩阵的问题。延拓量被最小化，就使变换结果的数据最少了。
如果，原始数据的长度，能被2的L(正整数)次幂整除，那么做L级周期化分解的小波包树上的任一组基上的系数数目都是相同的、最小的。这应该是，离散小波变换、小波包的某种正典；其形式工整美观；背后的思想观念清晰；操作利索；在有限长数据的处理中，也简便实用，因为，地球上最著名的、应用最广的变换技术，FFT，常用的数据长度就是2的正整数次幂。其方便，还例如，可以用列举、归纳来论述实际的应用问题。
居士在讨论小波(包)的离散变换时，坚持使用了单位矩阵分解、有限维矢量空间的多分辨分析、有限维基向量、有限维小波包等概念，以强调一种理论观念和角度，而不仅限于实践技巧。Matlab使用的是普通滤波器的观点，per模式作为一种实用技巧，对付的是被处理数据，但是，这不必造成问题。不过，居士好奇的是，其per模式未被列入帮助文档(dwtmode)的表格中，而且，紧随表格的几行文字里“略有冗余的(slightly
redundant，指某些非per模式)”、两个“But”和“whatever”以及“must
be”对于“完美的重建(perfect
reconstruction)”的说明，使per模式与其它模式形成对比，也很容易让人担心per模式不良。
有趣的是，《维基百科》()中“Daubechies
wavelet”的“Implementation”部分，也把某种Periodization与其它模式(被称为高级(尖端，sophisticated)的方法)“相对”而论，而且强调只影响“very
ends”。但是，居士对整个滤波器系统的周期化的测试，并不管支集影响有多远；在256点数据的8级分解中，最后一个近似系数，实际上，涉及到了所有的256个数据点。
在Matlab中，做些测试，是应该的！
Matlab系统默认的模式是sym，它在表格中排在第一位。此外，系统有函数计算“合理的最大”分解深度。在命令窗中，运行
wmaxlev(256,'db33'), wmaxlev(64,'db20'),
得到的最大分解深度为1、0，即是说：只该分解一级、或干脆就不能做小波变换。分解深度越小，由滤波器系数本身的近似性和计算中的数字截断所引入的误差(不是理论上的重建问题！)，一般应该更小。所以，测试时，用sym模式、系统计算的合理分解深度，作为比较标准。
本文后的图片所示(右边)的结果，用单位能量的正态分布的随机序列(左边)，比较了Matlab的小波变换中的3种模式、它的65组滤波器(依次为Daubechies
1至Daubechies 45、 Coiflets 1至Coiflets
5、15组双正交)。模式sym、zpd、per的误差(未做任何变换域数据修正)结果，几乎完全重合，而且，也与居士在Scilab中周期化滤波器系统以分解单位矩阵的结果一致。用模式zpd、per时，分解深度都被强行设置为8；然而，用sym模式时的平均分解深度，仅约为3，不到8的一半，可以说sym模式很占便宜。
下面是居士写的计算图片中结果的Matlab程序temp8x.m:
function [Test8x]=temp8x
%test Matlab-Wavelet-Toolbox: dwtmode and its
Filters
%in Matlab-Ra. -August.
%tic;[Test8x]=temp8x;toc,
%------prepare
close all force;
biof1=['1.1'; '1.3'; '1.5'; '2.2'; '2.4'; '2.6';
'2.8';...
'3.1'; '3.3'; '3.5'; '3.7'; '3.9'; '4.4'; '5.5'; '6.8'];
dwtmod1=['sym';'zpd';'per']; %3 modes
rng(1.0e9);x=randn(1,256);x=x/norm(x(:)); %test data
ModeSymLevel=0;
Test8x=zeros(65,3);
%------compute
for
i1=1:65;% 65
filters
if
(i1>0)&&(i1<46)
FilterNam1=['db'
int2str(i1)];%
Daubechies
elseif
(i1>45)&&(i1<51)
FilterNam1=['coif' int2str(i1-45)]; %Coiflets
elseif
(i1>50)&&(i1<66)
FilterNam1=['bior' biof1(i1-50,:)];
%Biorthogonal
else
error('Undefined Filter.');%unknown
end
for
j1=1:3;%3
mode error, from dwt and idwt
if j1==1
dl0=wmaxlev(length(x),FilterNam1);%level,only for Mode sym
ModeSymLevel=ModeSymLevel+dl0; %memorize the levels
else
dl0=8;
end
dwtmode(dwtmod1(j1,:)); %set mode
[xc1,xl1]=wavedec(x,dl0,FilterNam1);
%transform
xr1=waverec(xc1,xl1,FilterNam1);%inverse
Test8x(i1,j1)=norm(xr1-x);%norm of error
end
end
%------display
ModeSymLevel=ModeSymLevel/length(Test8x(:,1)),%'sym' average level
subplot(1,2,1);plot(x);axis tight; %display raw data
title('The Normalized randn(1,256) for
wavedec');
subplot(1,2,2); %display the result
semilogy(Test8x(:,1),'-g');hold
on;
semilogy(Test8x(:,2),'ob');semilogy(Test8x(:,3),'+r');hold off;
grid on; axis tight;legend(dwtmod1,'Location','NorthWest');
title('temp8x.m: Matlab dwt Modes and Its
Filters');
xlabel('db1-db45,coif1-coif5,15 Biorthogonal
Filters');
ylabel('Reconstruction-Error Norm');
end
新浪赛特居士SciteJushi--08-25。
程序生成结果的图片
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