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VaR模型案例：AAPL历史模拟法参数模型分析法非参数bootstrapMonte-Carlo模拟计算参考资料VaR模型
在险价值Value-at-risk的定义为，在一定时期Δt\Delta tΔt内，一定的置信水平1−α1-\alpha1−α下某种资产组合面临的最大损失，公式为
P(Δp≤VaR)=1−αP(\Delta p\leq VaR)=1-\alpha P(Δp≤VaR)=1−α
在持有组合时期Δt\Delta tΔt内，给定置信水平1−α1-\alpha1−α下，该组合的最大损失不会超过VaR，使用VaR进行风险衡量时，需要给定持有期和置信水平，巴塞尔协会规定持有期标准为10天，置信水平为99%，商业银行可以确定各自的水平，J.P.Morgan公司在1994年年报中设置持有期为1天，置信水平为95%，VaR值为1500万元，即J.P.Morgan公司在一天内所持有的风险头寸损失小于1500万的概率为95%.
VaR的主要性质：
变换不变性：VaR(X+a)=VaR(X)+a,a∈RVaR(X+a)=VaR(X)+a, a\in\mathbb{R}VaR(X+a)=VaR(X)+a,a∈R正齐次性：VaR(aX)=aVaR(X),a<0VaR(aX)=aVaR(X), a<0VaR(aX)=aVaR(X),a<0，资产的风险与持有头寸呈反比关系协单调可加性：VaR(X1+X2)=VaR(X1)+VaR(X2)VaR(X_1+X_2)=VaR(X_1)+VaR(X_2)VaR(X1+X2)=VaR(X1)+VaR(X2)不满足次可加性和凸性：不满足次可加性表示资产组合的风险不一定小于各资产风险之和，这个性质导致VaR测度存在不合理性，因为组合VaR不可以通过求各个资产的VaR得出。不满足凸性表示以VaR为目标函数的规划问题一般不是凸规划，局部最优解不一定是全局最优解，由于多个局部极值的存在导致无法得到最优资产组合满足一阶随机占优VaR关于概率水平1−α1-\alpha1−α不是连续的
VaR对风险的衡量具有前瞻性，将预期损失的规模和发生的概率结合，可以了解在不同置信水平上风险的大小.
但是VaR模型是对正常市场环境中金融风险的衡量，如果整体环境出现了动荡或者发生极端情况时，VaR就会失去参考价值，一般加上压力测试（Stress Test）结合极值分析进行风险衡量，常用的极值分析方法有BMM和POT两种，极值分析就是当风险规模超过设定阈值时进行建模，处理风险尾部.
由于金融数据的低信噪比特点，导致数据呈现尖峰后尾的分布，这种分布导致VaR模型无法产生一致性度量，针对风险度量的不一致性可以使用条件风险价值CVaR模型修正，即当资产组合损失超过给定的VaR值时，资产组合的损失期望，计算公式如下
CVaRα=E(−X∣−X≤VaRα(x))CVaR_\alpha=\mathbb{E}(-X\mid -X\leq VaR_\alpha(x)) CVaRα=E(−X∣−X≤VaRα(x))
其中XXX表示资产的损益，CVaR满足以下性质：
一致连续性次可加性，∀X,Y\forall X, Y∀X,Y满足ρ(X+Y)≤ρ(X)+ρ(Y)\rho(X+Y)\leq \rho(X)+\rho(Y)ρ(X+Y)≤ρ(X)+ρ(Y)满足二阶随机占优满足单调性，∀X≤Y\forall X\leq Y∀X≤Y满足ρ(X)≤ρ(Y)\rho(X)\leq \rho(Y)ρ(X)≤ρ(Y)
案例：AAPL
历史模拟法
历史模拟法计算AAPL公司的VaR，历史模拟法使用市场历史因子的变化来估计市场因子未来的变化，对市场因子的估计采用权值估计方法，根据市场因子的未来价格水平对头寸进行重新估值，计算出头寸的价值变化，将组合损益从小到大排序，得到损益分布，通过计算给定置信度下的分位数求出VaR. 这里计算了置信水平分别为95%和99%的VaR.
历史模拟法python代码
import pandas_datareader.data as webimport datetime as dtimport pandas as pdimport numpy as npfrom scipy.stats import normimport matplotlib.pyplot as pltstart=dt.datetime(, 1, 1)end=dt.datetime(, 12, 31)df=web.DataReader('AAPL', 'yahoo', start, end)# 对数收益率df['return']=np.log(df['Adj Close']/df['Adj Close'].shift(1))# 计算收益率的分位数# 5%分位数VaR5=np.percentile(df['return'].dropna(), 5)# 1%分位数VaR1=np.percentile(df['return'].dropna(), 1)def hm_demo():grey = 0.75, 0.75, 0.75fig=plt.figure(figsize=(8, 6))plt.hist(df['return'], bins=50, alpha=0.5, color=grey)plt.plot([VaR5, VaR5], [0, 100], 'b:', linewidth=2, label='5% VaR')plt.plot([VaR1, VaR1], [0, 100], 'r:', linewidth=2, label='1% VaR')plt.xlim([-0.1, 0.1])plt.ylim([0, 250])plt.legend()# plt.savefig('hm_var.png')plt.show()hm_demo()
参数模型分析法
分析法利用证券组合的价值函数与市场因子之间的近似关系，推断市场因子的统计分布，简化VaR计算.
使用参数模型分析法需要进行数据预处理工作，在Matlab(R a)中常用数据预处理函数如下
% 计算股票样本的均值，标准差，相关性与beta% 价格转收益率tick_ret=tick2Ret(stockPrices, [], 'continuous')mu=mean(tick_ret) % 计算均值std=std(tick_ret) % 计算标准差mdd=maxdrawdown(tick_ret) % 计算最大回撤coef=corrcoef(tick_ret) % 相关系数矩阵
tick2ret函数说明
[RetSeries, RetIntervals]=tick2ret(TickSeries, TickTimes, Method)INPUTTickSeries: 价格序列TickTimes: 时间序列Method: 计算方法，continuous表示对数收益率计算log(x)-log(y)；simple表示简单收益率计算(x-y)/yOUTPUTRetSeries: 收益率序列RetIntervals: 收益率对应的时间间隔
maxdrawdown函数说明
T日组合最大回撤计算接口为[MaxDD, MaxDDIndex]=maxdrawdown(Data, Format)INPUTData: 组合每日总收益序列Format: 类别有 return(默认，收益率序列)，arithmetic（算术布朗运动），geometric（几何布朗运动）OUTPUTMaxDD：最大回撤值MaxDDIndex：最大回撤值位置
参数模型法计算VaR使用接口portvrisk，函数说明如下
ValueAtRisk=portvrisk(PortReturn, PortRisk, RiskThreshold, PortValue)INPUTPortReturn：组合收益率PortRisk: 组合标准差RiskThreshold：置信度阈值，默认为5%PortValue：组合资产价值，默认为1OUTPUTValueAtRisk：风险价值
参数模型法计算程序如下
pVar=portvrisk(mean(ret), std(ret), [0.01, 0.05], port_value);confidence=pVar/port_value
非参数bootstrap
对历史数据进行有放回的采样，计算每次采样的VaR，然后对所有采样结果求期望，设置采样容量为300，进行200轮采样的结果如下
python非参数bootstrap代码
def bootstrap_demo():ret=df['return'].dropna()# 有放回采样def sample(data, size):sample=np.random.choice(data, size, replace=True)VaR5=np.percentile(sample, 5)VaR1=np.percentile(sample, 1)return (VaR5, VaR1)sz, n=300, 200samples=np.array([sample(ret, sz) for _ in range(n)])VaR5, VaR1=np.mean(samples, axis=0)grey = 0.75, 0.75, 0.75fig=plt.figure(figsize=(8, 6))plt.hist(df['return'], bins=50, alpha=0.5, color=grey)plt.plot([VaR5, VaR5], [0, 100], 'b:', linewidth=2, label='5% VaR')plt.plot([VaR1, VaR1], [0, 100], 'r:', linewidth=2, label='1% VaR')plt.xlim([-0.1, 0.1])plt.ylim([0, 250])plt.legend()plt.savefig('bootstrap_var.png')plt.show()bootstrap_demo()
Monte-Carlo模拟计算
Monte-Carlo计算欧式期权价格可以见这篇博客.
Monte-Carlo模拟的基本步骤是：
1.选择市场因子变化的随机过程和分布，估计该过程的参数的相关参数.
2.模拟市场因子的变化路径，建立对市场因为未来的预测
3.对市场因子每个情景，利用公式计算价值和变化
4.根据组合价值变化分布模拟结果，计算给定置信度下的VaR.
设置股票价格符合几何布朗运动，即
St+1=Stexp((μ−σ22)Δt+σεΔt)S_{t+1}=S_t\exp((\mu-\frac{\sigma^2}{2})\Delta t+\sigma\varepsilon\sqrt{\Delta t}) St+1=Stexp((μ−2σ2)Δt+σεΔt)
其中μ\muμ为收益率均值，σ2\sigma^2σ2为收益率方差，ε\varepsilonε为从Gaussian分布中抽样出的随机值.
计算Δt=1\Delta t=1Δt=1日的VaR值
python蒙特卡洛模拟计算代码
def monte_carlo_demo():ret = df['return'].dropna()mu, sig = np.mean(ret), np.std(ret)def gbm(s0, T, n):dt=T/nprice=s0for _ in range(n):eps=np.random.normal()s=price*np.exp((mu-sig**2/2)*dt+sig*eps*np.sqrt(dt))price=sreturn pricesp=[]s0=1for _ in range(10000):sp.append(gbm(s0, 1, 100))sret=np.array(sp)/s0-1VaR1=np.percentile(sret, 1)VaR5=np.percentile(sret, 5)print(VaR1, VaR5)grey = 0.75, 0.75, 0.75fig=plt.figure(figsize=(8, 6))plt.hist(df['return'], bins=50, alpha=0.5, color=grey)plt.plot([VaR5, VaR5], [0, 100], 'b:', linewidth=2, label='5% VaR')plt.plot([VaR1, VaR1], [0, 100], 'r:', linewidth=2, label='1% VaR')plt.xlim([-0.1, 0.1])plt.ylim([0, 250])plt.legend()plt.savefig('monte-carlo_var.png')plt.show()monte_carlo_demo()
kkk天的VaR可以根据公式
VaRk=VaR1∗kVaR_k=VaR_1*\sqrt{k} VaRk=VaR1∗k
计算，或者令程序中gbm参数T=k进行模拟计算.
参考资料
DCC-Garch VaR 量化小白H
Copula模型估计组合VaR 量化小白H
python金融实战之计算VaR
Risk Analysis in Python
量化投资以Matlab为工具 中国工信出版集团 李洋 郑志勇
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