中考数学压轴题：因动点产生的最值问题（四边形）

动点问题产生的最值问题（四边形）

动点问题一直都是中考压轴题的常考题型，难度系数可大可小。就连平常的单元测或者期中期末考试，也常将动点问题当做压轴题。

这不，传说中压轴题难度非常大的武汉市就拿动点产生的最值问题下手了！结果难哭了一批学霸同学。据说，150分的卷，能考90分都已经是高手了！能将压轴题写出，估计是全校的公敌了吧！

到底有多难，下面一起来看看吧！

动点产生的最值问题

例题、如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形OABC的边OC落在x轴的正半轴上，边OA落在y轴的正半轴上，点E从点A出发以每秒1个单位长度的速度沿着射线AB的方向运动，点A关于OE的对称点为点F。运动时间为t秒，连接OF、EF、BF、CF。

（1）如图1，当∠AOE=30°时，求∠CFB的度数；

（2）如图2，当t=1时，求证：BF⊥CF；

（3）如图3，过点F作FG⊥CF，且FG=CF，连接AG，M为AG的中点，连接CM，则当t=多少时，CM有最小值，CM的最小值为多少？

原题如下：

分析：（1）30°的角太特殊了，有30°必有60°，再加上对称必有线相等，所以必有等边三角形。故，连接AF即得等边三角形AOF。不难证明BF=CF，∠BCF=15°。所以∠BFC=150°。难度系数中等，想秒杀估计比较难了！

（2）如图所示，作出对应的辅助线。求出点F的坐标，然后求出BF、CF的值，利用勾股定理的逆定理，即可求出∠BFC=90°。难度系数中等，计算量较大，考试时需要仔细认真，不能出现计算的错误。

（3）关于中点问题，初二数学中，一般就是三角形的中位线，或者平行四边形的对角线互相平分。本题利用中位线的知识，使CM=0.5GH，不难求出H点的坐标为（6，-3）。而关于最小值的问题，一般有两个：①两点之间线段最短；②点到直线的距离最短。

解决本题的关键是：如何找出一个定点P，使PG的值不变？

不妨设P（x，y），且x^2+y^2=3^2=9。构造三垂直模型中的K型，不难求出G的坐标（x-y，x+y-3）。想要找到一个定点，一定要认真观察G的坐标，如果能将-3抵消，不难构造出x^2+y^2。而这样的点P（0，-3）即为所要求的定点。且PG^2=(x+y)^2+(x-y)^2=2(x^2+y^2)=18。所以，PG为定值。

所以，当P、G、H三点在同一条直线上时，GH的值最小。连接PH，易求PH=6，所以GH=6-3√2。所以CM的最小值为：3-1.5√2.

此时，G的坐标为（3√2，-3），F（1.5√2，-1.5√2）。然后利用EF=AE，即可求出t的值。且t值为3+3√2。

小结

最小值问题，一定要注意常用方法：①两点之间线段最短；②点到直线的距离最短。

而两点之间线段最短，一定要找到两个定点。如果题目中，没有出现，一定要自己找到这一个隐藏的定点。且这个隐藏的定点，一定是题目中出现的特殊点。

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