动点问题，作为中考数学压轴题的一个热点，年年考，年年都有很多学生不会写！而动点问题又会分许多的题型，动点产生的面积问题、最值问题、全等三角形问题、相似三角形问题等！
这里，精选两道二次函数中因动点产生的直角三角形问题，供需要的学生朋友参考学习。
顺便锻炼一下举一反三的能力，不然很难在中考之前将这众多的题型一一掌握。
例题1、如图1，抛物线y=ax+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A（0，3）、B（﹣1，0）、D（2，3），抛物线与x轴的另一交点为E．经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，与抛物线交于另一点F．点P在直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t
（1）求抛物线的解析式；
（2）当t何值时，△PFE的面积最大？并求最大值的立方根；
（3）是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
【考点】二次函数的应用，二次函数的实际应用-动态几何问题
【解析】【分析】
（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由A、C坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可求得直线EF的解析式，作PH⊥x轴，交直线l于点M，作FN⊥PH，则可用t表示出PM的长，从而可表示出△PEF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；（3）由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况，当∠PAE=90°时，作PG⊥y轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；当∠APE=90°时，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，则可证得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值．
参考答案
例题2、如图，已知二次函数y= 4/9 x﹣4的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，⊙C的半径为√5 ，P为⊙C上一动点．
（1）点B，C的坐标分别为B（________），C（________）；
（2）是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值=________．
【分析】
（1）在抛物线解析式中令y=0可求得B点坐标，令x=0可求得C点坐标；
（2）①当PB与⊙相切时，△PBC为直角三角形，如图1，连接BC，根据勾股定理得到BC=5，BP2=2 √5 ，过P2作P2E⊥x轴于E，P2F⊥y轴于F，根据相似三角形的性质得到P2F：P2E=CP2：BP2 =2，设OC=P2E=2x，CP2=OE=x，得到BE=3﹣x，CF=2x﹣4，于是得到FP2=11/5 ，EP2=22/5 ，求得P2（ 11/5 ，﹣22/5 ），过P1作P1G⊥x轴于G，P1H⊥y轴于H，同理求得P1（﹣1，﹣2），
②当BC⊥PC时，△PBC为直角三角形，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；
（3）如图（3）中，联结AP，根据OB=OA，BE=EP，推出OE=0.5AP，可知AP最大时，OE的值最大。
答案
【考点分析】二次函数图像与坐标轴的交点问题，相似三角形的判定与性质，二次函数的实际应用-几何问题。
其实，关于动点产生的直角三角形问题，还可以用作图法确定存在的点有多少个，即一圆两垂线！然后利用相似三角形的性质求出点的坐标！
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