听一些学霸同学说:中考数学不可怕,可怕的是压轴题!其中几何综合的压轴题最让人崩溃,想要在2个小时内(也可能是90分钟)完成,有时候感觉比登天还难!
特别是那些几何变换的数学压轴题,有时候明明就知道基本的解题方法,奈何计算量太大,不能在中考结束的铃声响起之前写下最终的正确答案!最后差2分就成为中考单科状元,可惜,可惜!
为了让新一届的毕业班孩子们不再步学长们的后尘。这里特意挑选一道中考数学压轴题(难度一般,追求极难题目的请忽略!),供需要的朋友们参考学习,顺便练习一下计算能力!
例题、如图1.在△ABC中,矩形EFGH的一边EF在AB上,顶点G、H分别在BC、AC上,CD是边AB上的高,CD交GH于点I.若CI=4,HI=3,AD =4.5 .矩形DFGI恰好为正方形.
(1)求正方形DFGI的边长;
(2)如图2,延长AB至P.使得AC=CP,将矩形EFGH沿BP的方向向右平移,当点G刚好落在CP上时,试判断移动后的矩形与△CBP重叠部分的形状是三角形还是四边形,为什么?
(3)如图3,连接DG,将正方形DFGI绕点D顺时针旋转一定的角度得到正方形DF′G′I′,正方形DF′G′I′分别与线段DG、DB相交于点M、N,求△MNG′的周长.
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质得出 HI∥AD, 根据平行线分线段成比例定理得出 HI:AD=CI:CD , 由比例式即可算出CD的长,进而根据 ID=CD﹣CI 即可算出答案;
(2) 三角形,理由如下: 根据等腰三角形的性质得出 ∠ACD=∠PCD,∠A=∠P, 根据平行线的性质得出 ∠CHG′=∠A,∠CG′H=∠P, 故 ∠CHG′=∠CG′H,根据等角对等边得出CH=CG′, 再根据等腰三角形的性质即矩形的性质得出 IH=IG′=DF′=3, 根据平行线分线段成比例定理得出 IG:DB=CI:CD , 由比例式即可求出DB的长,进而得出 DB=DF′=3,故点B与点F′重合, 故 移动后的矩形与△CBP重叠部分是△BGG′;
(3) 如图3中,如图将△DMI′绕点D逆时针旋转90°得到△DF′R,此时N、F′、R共线.根据旋转的性质得出 ∠MDN=∠NDF+∠MDI′=∠NDF′+∠DF′R=∠NDR=45°, 然后利用SAS判断出 △NDM≌△NDR, 根据全等三角形的性质得出 MN=NR=NF′+RF′=NF′+MI′, 根据三角形周长的计算方法及等量代换即可得出 △MNG′的周长=MN+MG′+NG′=MG′+MI′+NG′+F′R=2I′G′=4.
【考点】平行线的性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,平行线分线段成比例,旋转的性质。
没错,几何变换中的平移和旋转是中考数学压轴题的常考题型,而相似三角形的参与又提高了整体的难度,学有余力的同学在备考过程中一定要多练多算!
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