典型例题分析1：
如图，在△ABC中，点O在边AC上，⊙O与△ABC的边AC，AB分别切于C、D两点，与边AC交于点E，弦CF与AB平行，与DO的延长线交于M点．
（1）求证：点M是CF的中点；
（2）若E是弧DF的中点，连结DF，DC，试判断△DCF的形状；
（3）在（2）的条件下，若BC=a，求AE的长．
考点分析：
切线的性质．
题干分析：
（1）根据垂径定理可知，只要证明OM⊥CF即可解决问题；
（2）结论：△DFC是等边三角形．由点M是CF中点，DM⊥CF，推出DE=DF，由E是弧DF中点，推出DC=CF，推出DC=CF=DF，即可；
（3）只要证明△BCD是等边三角形，即可推出∠B=60°，∠A=30°，在Rt△ABC中，BC=BD=CD=a，可得OC=OD=√3a/3，OA=2√3a/3，由此即可解决问题；
典型例题分析2：
探究与应用．试完成下列问题：
（1）如图①，已知等腰Rt△ABC中，∠C=90°，点O为AB的中点，作∠POQ=90°，分别交AC、BC于点P、Q，连结PQ、CO，求证：AP2+BQ2=PQ2；
（2）如图②，将等腰Rt△ABC改为任意直角三角形，点O仍为AB的中点，∠POQ=90°，试探索上述结论AP2+BQ2=PQ2是否仍成立；
（3）通过上述探究（可直接运用上述结论），试解决下面的问题：如图③，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点O为AB的中点，过C、O两点的圆分别交AC、BC于P、Q，连结PQ，求△PCQ面积的最大值．
考点分析：
圆的综合题．
题干分析：
（1）证△APO≌△COQ，求出AP=CQ，同理求出BQ=CP，根据勾股定理求出即可；
（2）延长QO到D，使OD=OQ，连接AD，PD，求出PD=PQ，证△AOD≌△BOQ，推出AD=BQ，∠BAD=∠B，OD=OQ，在Rt△PAD中，由勾股定理得：AP2+AD2=PD2，即可得出答案；
（3）连接PO、OQ，则∠POQ=90°，根据勾股定理得出AP2+BQ2=PQ2，设PC=a，CQ=b，推出（6﹣a）2+（8﹣b）2=a2+b2，求出b=﹣3a/4+25/4，代入S△PCQ=ab/2求出即可．
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