中考数学压轴题：因动点产生的等腰三角形

点的存在性问题——因动点产生的等腰三角形

点的存在性问题，在中考压轴题中非常普遍。比如因动点产生的平行四边形问题、因动点产生的线段和差问题、因动点产生的全等三角形问题、因动点产生的等腰三角形……

这些动点产生的几何图形问题可谓十分的普遍，难度系数究竟怎么样？又有什么规律可遵循？下面，从动点产生的等腰三角形出发，分析探究这一点的存在性问题。

既然是探究因动点产生的等腰三角形，那么等腰三角形的基础知识必须总结归纳，牢记于心。

等腰三角形的性质：（1）等边对等角；（2）三线合一。

等腰三角形的判定：等角对等边。

而等腰三角形还有一点要特别注意：不确定性！①边的不确定性；②角的不确定性。

当给出等腰三角形的一条边时，我们要确定这条边到底是腰还是底边，同时还要确保三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边。如果边不确定，那么一定要分类讨论！

当给出等腰三角形的一个角时，也要确定这个角是底角还是顶角。如果题中没有明显说明，那么一定要分类讨论！

因此，分类讨论思想是动点产生的等腰三角形问题中非常重要的思想方法！

下面从两道例题分析！

例题1、矩形中因动点产生的等腰三角形问题

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，求出点P的坐标．

分析：图中已经给出矩形以及点A、C的坐标，不难求出D的坐标（5,0）且OD=5，而三角形OPD的腰长为5，不难得出OD可能是三角形的一条腰，但是OD一定是三角形的一条腰吗？题目中没有具体给出，所以碰到这种情况，分类讨论就来救急了！

①若OD=OP，Rt△COP中不难求出，CP=3，所以P（3,4）；

②若OP=PD，此时的三角形不存在；

③若OD=PD，也不难求出P（2,4），如下图所示；

但是，这个时候就非常容易走进一个误区，该等腰三角形一定是锐角三角形吗？点P一定是在D点的左上方吗？这个时候，分类讨论的缺点就非常明显了，要做到不重不漏，有时候还真的挺难！

因此，碰到点的存在性问题，能不能先确定点的位置在哪里？怎么确定？

这个时候，千万不要慌，别让不确定性扰乱了心神。等腰三角形，无非就是有两条边相等，能够做出两条边相等就万事大吉了！

记住，所有的知识点都是慢慢积累下来的。初一的时候学过怎么作一条线段等于已知线段，何不借助一下圆规？

分别以O、D为圆心，OD长度为半径作两个圆。如下图所示：

这样，根据圆的半径相等，很容易就可确定点P的位置，即图中的三个黑点。为什么还要再画一条直线呢？因为那是OD的垂直平分线，垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。但是这个点不在BC上，所以舍去。

这就是非常经典的动点产生的等腰三角形问题中，点的确定方法：两圆一线找交点！直接找到交点，既不会重复，也不会遗漏。

接下来就是求出点的坐标，点的坐标求法：用勾股定理、圆的半径相等、圆的对称性、勾股定理构造方程等。

这样，不难求出，符合条件的点的坐标为：（2，4）或（3，4）或（8，4）．

例题2、抛物线中动点产生的等腰三角形问题

1、已知抛物线y＝ax^2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．

(1)求抛物线的函数关系式；

(2)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

分析：（1）秒杀的题目，代入三个点的坐标，得方程组，解方程组即可求出，抛物线的解析式：y＝－x^2＋2x＋3．

（2）利用刚刚学会的方法，画出两圆一线，如下图所示：

由图很容易得到，这样的点有5个，但是最上方的点不符合条件（因为三点共线）。因此，符合条件的点一共有四个。

附求出点的坐标的参考答案过程

小结

点的存在性问题——因动点产生的等腰三角形问题，方法可归纳为以下两点：

1、确定点的位置：两圆一线找交点；

2、点的坐标求法：对称、勾股定理、构造方程。

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