中考在即，作为一名给初三学生授课的数学老师，为了教授学生更多的知识和更简解的解题技巧，每准备一个例题都需要花费不少的心思，只为了学生在考试的时候能更轻松地更省时间地拿到更高的分数。其实到目前为止，还没有学生问过我：老师，你是怎么备课的？今天我就简单分享一个备课片段。
分享题目之前，我先描述下备课的心理过程。题目第二问的第一个解题方法是配套的参考答案，直接照搬答案不是我的风格；第二个方法是我粗略想出另一个解题办法，但是经过仔细思考，我觉得我不能把第二个近乎有傻傻的办法教给学生，经过进一步改进的第三个办法我才比较满意，到此我才决定放过这个题目。学生有时候能想到更多更犀利的办法，足以吊打老师，也就是所谓的长江后浪推前浪，一浪更比一浪浪。如果我被学生碾压了，我很开心，不会觉得丢脸，学生很强本身就是我的心愿。
长江后浪推前浪，一代更比一代强
下面我们请看题：
见下图：A,B,C三点在圆O上，平行四边形ABCD的边AD与圆O相切。
(1)AB=AC
(2)延长DC交圆O与点E，连接BE，cos∠E=(5/13)，求tan∠D。
（1）第一问很简单。
圆与切线
分析与解答：
有圆的切线存在，通常连圆心造半径或直径，就有垂直的关系出现，有垂直关系出现，就可能用到垂径定理。连OA，则有OA⊥AD。由四边形ABCD为平行四边形可知AD//BC,即可推出OA⊥BC.由垂径定理推论可知：AB=AC。
（2）分析与解答，关键部分。
圆+内接四边形
方法1：这个题目有一个典型的特征，圆O的弦AB//EC,这个基本特征就是题目的突破口，易知四边形ABEC是等腰梯形，AE=AC=AB.
作BM⊥EC,AN⊥EC,根据cos∠BEC=(5/13)设EM=5a，BE=13a,可求BM=12a。
根据题意有：NC=EM=5a，MN=AB=13a，所以MC=18a，tan∠BCE=(12a/18a)
所以tan∠D=tan∠BCE=(12a/18a)=(2/3)。
构造直角三角形+角平分线模型
方法2：由第一问结论可知：AB=AC，所以∠E=2∠ABC=2∠D.那么此题就转换成了已知2倍角余弦值，求半角正切值。解法就很简单了，构造直角三角形+角平分线模型即可。通过这种形式转换成倍半角模型，计算非常简单。
这个思路没问题，但是偏复杂
方法3：依然是倍半角模型的应用，但是相对于方法2有巨大改进，通过利用∠MAB=∠BEC，作BM⊥CA,进一步减少辅助线和计算量，可以快速口算结果。
简解：作BM⊥CA交CA延长线与M，则有∠MAB=∠BEC.
由cos∠BEC=cos∠MAB=(5/13)，可设MA=5a,AB=13a,则BM=12a。
由AB=AC可知AC=13a，所以tan∠BCM=BM/MC=12a/18a=2/3,
所以tan∠D=tan∠ABC=tan∠BCM=2/3.
到此这个例题的备课工作才算完成了。
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初三的同学们，加油！
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