4.如图,在平面直角坐标系中,点 C 是 y 轴正半轴上的一个动点,抛物线 y=ax2﹣5ax+4a(a 是常数,且 a>0)过点 C,与 x 轴交于点 A、B,点 A 在点 B 的左边.连接 AC,以 AC 为边作等边三角形ACD,点 D 与点 O 在直线 AC 两侧.
(1)求点 A,B 的坐标;
(2)当 CD∥x 轴时,求抛物线的函数表达式;
(3)连接 BD,当 BD 最短时,请直接写出抛物线的函数表达式.
【解析】
解:
(1)y=ax2﹣5ax+4a,
令 y=0,则 x=1 或 4,
故点 A、B 的坐标分别为:(1,0)、(4,0);
(2)当 CD∥x 轴时,则 ∠CAO=60°,
则 OC=OAtan60 = √3,故点 C(0,√3),
即 √3=4a,解得:a=√3/4,
故抛物线的表达式为:y=√3/4x2﹣5√3/4x + √3;
(3)如图,过点 D 作 DE⊥AC 于点 E,过点 D 作 x 轴的垂线于点 H,过点 E 作 EF∥x 轴交 y 轴于点F 交 DH 于点 G,
∵ △ACD 为等边三角形,则点 E 为 AC 的中点,
则点 E(1/2,2a),AE=CE=√3/3 ED,
∵ ∠CEF + ∠FCE=90°,∠CEF + ∠DEG=90°,
∴ ∠DEG=∠ECF,
∴ △CFE∽△EGD,
∴ CF/EG = CE/ED = EF/DG = √3/3,其中 EF=1/2,CF=2a,
解得:GE = 2√3 a , DG = √3/2,
故点 D( 1/2 + 2√3 a,2a + √3/2 ),
故当 a= 3√3/8 时,BD 最小,
故抛物线的表达式为:
【分析】
(1)A、B 两点的坐标就是抛物线与 x 轴的交点的坐标,x 轴上点的纵坐标是 0 ,令 y = 0 , 解关于 x 的一元二次方程很容易求出,但计算一定要准确确保不丢分。
(2)关键是求出 a,抛物线的函数表达式也就确定了。
在等边三角形中每个角都是 60°,结合已知条件 CD∥x,就要利用平行线的性质(内错角、同位角、同旁内角),就会发现 “一线三等角”,∠OAC = ∠CAD = ∠DAB。
点 C(0,4a),则 OC = 4a,OA = 1,在直角三角形 COA 中,通过解直角三角形就可以求出 a,从而就可以确定抛物线的表达式了。
(3)点 C 是一个动点,从而点 D 也是一个动点,而点 B 是一个定点。遇见此类问题,如何求 BD 之间的最短距离?用几何的方法很难求解,就要想到平面内两点之间的距离公式。
问题也就转化为二次函数的最值问题了,关键是如何把点 D 的坐标表示出来,这是一个难点。
在等边三角形中一定要牢记 “三线合一” 这条非常重要的性质,本题中点 D 的坐标是通过线段的长度转化过来的,求线段的长度常用方法:①找相似三角形;②解直角三角形。
找不见,没有直角三角形就要想到 “作辅助线”。
常用的结论也应该熟记,如 “ 经过三角形一腰的中点与底边平行的直线,必平分另一腰”。
点 E 是线段 AC 的中点,从而可知点 F 是线段 CO 的中点,点 E 的坐标就是 (1/2 OA,1/2 OC) 。
结合解题过程及以上知识点分析,本题考的就是对知识点的综合应用!
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