10.如图所示，直线 y＝x + c 与 x 轴交于点 A（﹣4，0），与 y 轴交于点 C，抛物线 y＝﹣x2 + bx + c 经过点 A、C，点 M 是线段 OA 上的一个动点，过点 M 且垂直于 x 轴的直线与直线 AC 和抛物线分别交于点 P、N．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当以 C、P、N 为顶点的三角形为直角三角形时，S△CPN＝ ；
（3）过点 N 作 NH⊥AC 于 H，求 S△HPN 的最大值．
【解析】解：
（1）将点 A （﹣4，0）代入直线 y＝ x + c 得：c＝4，
则抛物线的表达式为：y＝﹣x2 + bx + 4，
再将点 A（﹣4，0）代入抛物线 y＝﹣x2 + bx + 4 并解得：b＝﹣3，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣3x + 4；
（2）
① 当 ∠CNP＝ 90° 时，如下图所示：
点 N（﹣3，4），点 P（﹣3，1），
S△CPN＝1/2 × CN × PN＝1/2 × 3 × 3＝9/2；
② 当 ∠NCP＝90° 时，如下图所示：
点 N（x，﹣x2﹣3x + 4），点 P（x，x + 4），点 C（0 , 4），
在 Rt△NCP 中，
NP2 =（﹣x2﹣4x ）2，NC2 = x2 +（﹣x2﹣3x ）2，PC2 = x2 + x2 ,
根据勾股定理：NP2 = NC2 + PC2，
∴ （﹣x2﹣4x ）2 = x2 +（﹣x2﹣3x ）2 + x2 + x2，
解得 x = -2 或 0（舍去），
∴ N（-2 , 6） ，P（-2 ，2），
S△CPN＝1/2 × NP × 2＝1/2 × 4 × 2＝4；
由图可知 ∠NPC ≠ 90°；
故答案为：9/2 或 4；
（3）设点 N（x，﹣x2﹣3x + 4），则点 P（x，x + 4），
∵ OA＝OC，
∴ ∠HPN＝∠APM＝∠PAM = 45°，
∴ S△HPN＝1/2 × NH × PH＝1/4（NP）2，
∵ NP＝﹣x2﹣3x + 4﹣x﹣4＝﹣x2﹣4x，
∴ 当 x＝﹣2 时，NP 的最大值为：4，
故 S△HPN＝1/2 × NH × PH＝1/4（NP）2 = 1/4 × 4 × 4＝4，
∴ S△HPN 的最大值为 4．
【总结】
（1）把点的坐标代入函数解析式，求出 c、b，从而确定抛物线的解析式非常简单；
（2）分类讨论，根据图像可知存在两种情况，第一种情况比较容易求出面积，第二种情况先设出点的坐标来，在直角三角形中通过勾股定理建立方程，用了两点之间的距离公式来表示线段的长，最后把点的坐标求出来，用三角形面积公式求出面积；
（3）这是一个二次函数求最值问题，通过分析可知这个三角形是个等腰直角三角形，先把 N、P 两点的坐标设出来，建立一个面积关于边长的函数关系式，最后根据二次函数的性质来求最值，从而可求出三角形面积的最大值。
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