【白话机器学习】算法理论+实战之EM聚类

1. 写在前面

如果想从事数据挖掘或者机器学习的工作，掌握常用的机器学习算法是非常有必要的，常见的机器学习算法：

监督学习算法：逻辑回归，线性回归，决策树，朴素贝叶斯，K近邻，支持向量机，集成算法Adaboost等无监督算法：聚类，降维，关联规则, PageRank等

为了详细的理解这些原理，曾经看过西瓜书，统计学习方法，机器学习实战等书，也听过一些机器学习的课程，但总感觉话语里比较深奥，读起来没有耐心，并且理论到处有，而实战最重要， 所以在这里想用最浅显易懂的语言写一个白话机器学习算法理论+实战系列。

个人认为，理解算法背后的idea和使用，要比看懂它的数学推导更加重要。idea会让你有一个直观的感受，从而明白算法的合理性，数学推导只是将这种合理性用更加严谨的语言表达出来而已，打个比方，一个梨很甜，用数学的语言可以表述为糖分含量90%，但只有亲自咬一口，你才能真正感觉到这个梨有多甜，也才能真正理解数学上的90%的糖分究竟是怎么样的。如果这些机器学习算法是个梨，本文的首要目的就是先带领大家咬一口。另外还有下面几个目的：

检验自己对算法的理解程度，对算法理论做一个小总结能开心的学习这些算法的核心思想， 找到学习这些算法的兴趣，为深入的学习这些算法打一个基础。每一节课的理论都会放一个实战案例，能够真正的做到学以致用，既可以锻炼编程能力，又可以加深算法理论的把握程度。也想把之前所有的笔记和参考放在一块，方便以后查看时的方便。

学习算法的过程，获得的不应该只有算法理论，还应该有乐趣和解决实际问题的能力！

今天是白话机器学习算法理论+实战的第九篇之EM聚类。听到这个名字，就知道这是一个无监督学习算法了，如果使用基于最大似然估计的模型，模型中存在隐变量的时候，就要用到EM算法去做估计。所以这个算法就是含有隐变量的概率模型参数的极大似然估计法，可能我说的这些话你还听不太懂，什么隐变量，什么极大似然乱七八糟的？没事，通过今天的学习，就能够快速的掌握EM算法的工作原理，还能理解极大似然，还能最后通过调用工具实现EM算法并完成一个王者荣耀英雄人物的聚类（玩游戏的时候，是不是会遇到对手抢了你擅长的英雄的情况啊， 那你该如何选一个和这个英雄整体实力差不多的呢？）。哈哈 ，是不是迫不及待了啊？我们开始吧。

大纲如下：

从一个生活场景引出EM算法的核心思想（分菜均匀，你该如何划分？）白话EM算法的工作原理，并举例子说明（抛硬币都玩过吧）看看EM聚类（和KMeans有何不同？）EM算法实战 - 对王者荣耀的英雄角色进行聚类（实行聚类之后，我们就可以找到可以互相替换的英雄，也就不怕你的对手选择了你擅长的英雄了）

OK, let"s go!

2. EM算法，还是先从分菜开始吧！

提起EM算法（英文叫做Expectation Maximization，最大期望算法），你可能是第一次听说过， 但是你知道吗？你在生活中可能不止一次用过这个思想了吧， 正所谓我之前常说的算法来源于生活。啥？不信？那我们看看下面这个场景：

★

假设，你炒了一份菜，我想要你把它平均分到两个碟子里，该怎么分？你一听平均分？总不能拿个称来称一称，计算出一半的分量进行平分吧，如果你真这样做，那不得不承认你是个天才，不用学机器学习了。反正我感觉大部分人的方法是这样做的：先分一部分到碟子 A 中，然后再把剩余的分到碟子 B 中，再来观察碟子 A 和 B 里的菜是否一样多，哪个多就匀一些到少的那个碟子里，然后再观察碟子 A 和 B 里的是否一样多……整个过程一直重复下去，直到份量不发生变化为止。

”

你是采用的哪种方法呢？如果是后者，那么恭喜你，你已经初步认识了EM算法，并且和它打交道不止一次了。下面的知识对你来说已经洒洒水了。轻松愉快的往下走吧。

在这个例子中你能看到三个主要的步骤：初始化参数，观察预期和重新估计。首先是先给每个碟子初始化一些菜量，然后再观察预期，这两个步骤实际上就是期望步骤（Expectation）简称E步。如果结果存在偏差就需要重新估计参数，这个就是最大化步骤（Maximization）简称M步。这两个步骤加起来也就是 EM 算法的过程。哈哈，是不是豁然开朗了啊，趁着这个时候，看看EM算法的具体工作原理吧。

3. EM算法的工作原理

说到 EM 算法，我们需要先来看一个概念“最大似然”，英文是 Maximum Likelihood，Likelihood 代表可能性，所以最大似然也就是最大可能性的意思。

什么是最大似然呢？

★

举个例子，有一男一女两个同学，现在要对他俩进行身高的比较，谁会更高呢？根据我们的经验，相同年龄下男性的平均身高比女性的高一些，所以男同学高的可能性会很大。这里运用的就是最大似然的概念。

”

那还有一个问题：最大似然估计是什么呢？

★

它指的就是一件事情已经发生了，然后反推更有可能是什么因素造成的。还是用一男一女比较身高为例，假设有一个人比另一个人高，反推他可能是男性。最大似然估计是一种通过已知结果，估计参数的方法。

”

上面说的这些是啥？EM 算法到底是什么？它和最大似然估计又有什么关系呢？（你这三连问，我有点不知所措）

其实，EM 算法是一种求解最大似然估计的方法，通过观测样本，来找出样本的模型参数。

★

再回过来看下开头我给你举的分菜的这个例子，实际上最终我们想要的是碟子 A 和碟子 B 中菜的份量，你可以把它们理解为想要求得的模型参数。然后我们通过 EM 算法中的 E 步来进行观察，然后通过 M 步来进行调整 A 和 B 的参数，最后让碟子 A 和碟子 B 的参数不再发生变化为止。

”

然后，你恍然大悟，哦，原理EM算法就这么简单啊，哈哈，不要太高估自己了， 实际我们遇到的问题，比分菜复杂的多。不行，那再看看我给你举的下面这个例子：

抛硬币大家都玩过吧，假设我们有 A 和 B 两枚硬币，我们做了 5 组实验，每组实验投掷 10 次，每次只能只有A或者B一枚硬币。那么我们统计出现每组实验正面的次数，实验结果如下：

我想问你，你知道，A硬币和B硬币各自正面朝上的概率吗？

怎么样？蒙了吧， 你说这咋求，每一组实验，我都不知道用的是A或者B抛的。我怎么算？那么好，我假设把这个表再给你完善一下：

这你能告诉我答案了吧？你说：这还不简单， 我们不就可以直接求了，令A正面朝上的概率是θA, B正面朝上的概率是θB，然后：

哈哈， 漂亮！你知道吗？一开始我提到这样一句话：

★

如果使用基于最大似然估计的模型，模型中存在隐变量的时候，就要用到EM算法去做估计

”

这里的第二列，就是隐含的数据，而A和B就是隐变量。实际中我们是不知道这一列的，就是开始给你的只有实验组数和正面的次数， 那么你该怎么办呢？

也就是说，我们如果不知道每一组扔的是A还是B，那么我们就无法去估计θA和θB, 而如果想知道每一组扔的是A还是B，我们就必须先知道A和B正面朝上的概率θA和θB，然后利用极大似然的思想，根据每一组实验正面朝上的次数去估计出这一轮究竟用的A还是B。有点绕哈！你会发现这是一个鸡生蛋蛋生鸡的问题，无法求解！

那么说了半天，应该怎么办呢？这里就采用了EM算法的思想。

★

我先随机初始化一个θA和θB， 有了这两个参数，我们就能按照极大似然估计出每一组用的是A还是B，然后基于每一组用的是A还是B，我们又能按照极大似然反过来计算出θA和θB，然后又能去估计新的用的是A还是B，然后又能计算新的θA和θB，这样一轮轮的下去， 当计算出的新的θA和θB与我们前一轮θA和θB一样的时候，说明这个θA和θB有可能就是真实的值了。这个就是EM初级版。

”

好了，根据我上面说的，我们看看怎么实行吧。

这里有两个问题需要解答一下：

★新估计出的θA和θB一定会更接近真实的θA和θB？答案是：没错，一定会更接近真实的θA和θB，数学可以证明，但这超出了本文的主题，请参阅其他书籍或文章。（这就类似你均匀分菜，总会有分好的那一个点吧）迭代一定会收敛到真实的θA和θB吗？答案是：不一定，取决于θA和θB的初始化值，一般是会的。”

其实，上面介绍的这个只是一个初始的版本，为什么这么说呢？因为我们上面第一次计算概率的时候，我们算出：

这时候我们直接取得第一次用硬币A(下面几组实验同理)。

你没有发现，这样做决定太硬，太绝对了吗？虽然B出现正面次数为5的概率比A的小，但是也不是0啊，就是也有可能出现啊。这时候我们应该考虑进这种可能的情况，那么这时候，第一轮实验用的A的概率就是: 0.246 / (0.246 + 0.015) = 0.9425；用B的概率就是1-0.9425 = 0.0575。

相比于前面的方法，我们按照最大似然概率，直接将第1轮估计为用的硬币A，此时的我们更加谨慎，我们只说，有0.9425的概率是硬币A，有0.0575的概率是硬币B，不再是非此即彼。这样我们在估计θA和θB时，就可以用上每一轮实验的数据，而不是某几轮实验的数据，显然这样会更好一些。

这一步，我们实际上估计的是用A或者B的一个概率分布，这步就称作E步。

这样，每一轮实验，我们会求出这样一个表来，分别有A和B的概率：

然后，我们在结合着统计结果，

按照最大似然概率的法则重新估计新的θA和θB：

★

以硬币A为例， 第一轮的正面次数为5相当于 5次正面，5次反面

0.9425 * 5 = 4.7125(这是正面）0.9425 * 5 = 4.7125（这是反面）

那么对于硬币A来说， 可以把五轮的表格画成下面的形式：

这样， 新的thetaA = 4.22 / (4.22+7.98)=0.35 这样，改变了硬币A和B的估计方法之后，会发现，新估计的thetaA会更加接近真实的值，因为我们使用了每一轮的数据，而不是某几轮的数据。PS：上面这个表我只是为了说明意思，截取过来的一个图，真实数据并不是这样的数据，看第一轮也能看出来，真实数据是我上面计算的那个，按照那个计算方法，计算出每一轮的硬币A的时候正面和反面的数据，硬币B的正面和方面的数据，然后求新的θA和θB会更加准确一些。

”

这步中，我们根据E步求出了硬币A和B在每一轮实验中的一个概率分布，依据最大似然法则结合所有的数据去估计新的θ1和θ2， 被称作M步。

这个就是进阶版的EM算法。

说到这，EM算法的工作原理可算是介绍完了， 你明白了吗？

简单的总结下上面的步骤：

★

你能看出 EM 算法中的 E 步骤就是通过旧的参数来计算隐藏变量。然后在 M 步骤中，通过得到的隐藏变量的结果来重新估计参数。直到参数不再发生变化，得到我们想要的结果。

”

下面，我们看看EM算法聚类的原理，前面介绍过KMeans聚类，同是聚类，有什么区别？

4. EM聚类的工作原理

EM算法一般用于聚类，也就是无监督模型里面，因为无监督学习没有标签（即y值)，EM算法可以先给无监督学习估计一个隐状态（即标签），有了标签，算法模型就可以转换成有监督学习，这时就可以用极大似然估计法求解出模型最优参数。其中估计隐状态流程应为EM算法的E步，后面用极大似然估计为M步。

相比于 K-Means 算法，EM 聚类更加灵活，比如下面这两种情况，K-Means 会得到下面的聚类结果。

因为 K-Means 是通过距离来区分样本之间的差别的，且每个样本在计算的时候只能属于一个分类，称之为是硬聚类算法。而 EM 聚类在求解的过程中，实际上每个样本都有一定的概率和每个聚类相关，叫做软聚类算法。

★

你可以把 EM 算法理解成为是一个框架，在这个框架中可以采用不同的模型来用 EM 进行求解。常用的 EM 聚类有 GMM 高斯混合模型和 HMM 隐马尔科夫模型。GMM（高斯混合模型）聚类就是 EM 聚类的一种。比如上面这两个图，可以采用 GMM 来进行聚类。

”

和 K-Means 一样，我们事先知道聚类的个数，但是不知道每个样本分别属于哪一类。通常，我们可以假设样本是符合高斯分布的（也就是正态分布）。每个高斯分布都属于这个模型的组成部分（component），要分成 K 类就相当于是 K 个组成部分。这样我们可以先初始化每个组成部分的高斯分布的参数，然后再看来每个样本是属于哪个组成部分。这也就是 E 步骤。

再通过得到的这些隐含变量结果，反过来求每个组成部分高斯分布的参数，即 M 步骤。反复 EM 步骤，直到每个组成部分的高斯分布参数不变为止。

这样也就相当于将样本按照 GMM 模型进行了 EM 聚类。

所以说很多KMeans解决不了的问题，EM聚类是可以解决的。在 EM 框架中，我们将潜在类别当做隐藏变量，样本看做观察值，把聚类问题转化为参数估计问题，最终把样本进行聚类。

最后再多啰嗦一句，EM 算法相当于一个框架，你可以采用不同的模型来进行聚类，比如 GMM（高斯混合模型），或者 HMM（隐马尔科夫模型）来进行聚类。

GMM 是通过概率密度来进行聚类，聚成的类符合高斯分布（正态分布）。而 HMM 用到了马尔可夫过程，在这个过程中，我们通过状态转移矩阵来计算状态转移的概率。HMM 在自然语言处理和语音识别领域中有广泛的应用。

好了，也说了EM算法聚类的原理了，下面让我们实战吧！

5. EM算法实战 - 王者荣耀英雄的聚类

上面是EM算法的原理，懂了原理之后，趁热打铁，做一个实际的小项目，看看EM算法的威力吧！

5.1 如何使用EM工具包

在 Python 中有第三方的 EM 算法工具包。由于 EM 算法是一个聚类框架，所以你需要明确你要用的具体算法，比如是采用 GMM 高斯混合模型，还是 HMM 隐马尔科夫模型。

我们主要是用GMM，所以需要引入工具包

from sklearn.mixture import GaussianMixture

那么如何创建GMM聚类呢？

★

gmm = GaussianMixture(n_components=1, covariance_type="full", max_iter=100)来创建， 参数如下：

n_components：即高斯混合模型的个数，也就是我们要聚类的个数，默认值为 1。如果你不指定 n_components，最终的聚类结果都会为同一个值。covariance_type：代表协方差类型。一个高斯混合模型的分布是由均值向量和协方差矩阵决定的，所以协方差的类型也代表了不同的高斯混合模型的特征。协方差类型有 4 种取值：

★covariance_type=full，代表完全协方差，也就是元素都不为 0；covariance_type=tied，代表相同的完全协方差；covariance_type=diag，代表对角协方差，也就是对角不为 0，其余为 0；covariance_type=spherical，代表球面协方差，非对角为 0，对角完全相同，呈现球面的特性。”

max_iter：代表最大迭代次数，EM 算法是由 E 步和 M 步迭代求得最终的模型参数，这里可以指定最大迭代次数，默认值为 100。”

创建完GMM聚类器之后，可以传入数据让它进行迭代拟合。

我们使用 fit 函数，传入样本特征矩阵，模型会自动生成聚类器，然后使用 prediction=gmm.predict(data) 来对数据进行聚类，传入你想进行聚类的数据，可以得到聚类结果 prediction。

你能看出来拟合训练和预测可以传入相同的特征矩阵，这是因为聚类是无监督学习，你不需要事先指定聚类的结果，也无法基于先验的结果经验来进行学习。只要在训练过程中传入特征值矩阵，机器就会按照特征值矩阵生成聚类器，然后就可以使用这个聚类器进行聚类了。

5.2如何用 EM 算法对王者荣耀数据进行聚类

首先我们知道聚类的原理是“人以群分，物以类聚”。通过聚类算法把特征值相近的数据归为一类，不同类之间的差异较大，这样就可以对原始数据进行降维。通过分成几个组（簇），来研究每个组之间的特性。或者我们也可以把组（簇）的数量适当提升，这样就可以找到可以互相替换的英雄，比如你的对手选择了你擅长的英雄之后，你可以选择另一个英雄作为备选。

5.2.1 数据集的介绍

看看数据的样子：数据集在这里下载

这里我们收集了 69 名英雄的 20 个特征属性，这些属性分别是最大生命、生命成长、初始生命、最大法力、法力成长、初始法力、最高物攻、物攻成长、初始物攻、最大物防、物防成长、初始物防、最大每 5 秒回血、每 5 秒回血成长、初始每 5 秒回血、最大每 5 秒回蓝、每 5 秒回蓝成长、初始每 5 秒回蓝、最大攻速和攻击范围等。

5.2.2执行流程

首先加载数据源在准备阶段，我们需要对数据进行探索，包括采用数据可视化技术，让我们对英雄属性以及这些属性之间的关系理解更加深刻，然后对数据质量进行评估，是否进行数据清洗，最后进行特征选择方便后续的聚类算法聚类阶段：选择适合的聚类模型，这里我们采用 GMM 高斯混合模型进行聚类，并输出聚类结果，对结果进行分析。5.2.3 实战操作首先导入包

import pandas as pdimport csvimport matplotlib.pyplot as pltimport seaborn as snsfrom sklearn.preprocessing import StandardScalerfrom sklearn.mixture import GaussianMixture

加载数据

# 数据加载，避免中文乱码问题data_ori = pd.read_csv("dataset/heros.csv", encoding = "gb18030")features = [u"最大生命",u"生命成长",u"初始生命",u"最大法力", u"法力成长",u"初始法力",u"最高物攻",u"物攻成长",u"初始物攻",u"最大物防",u"物防成长",u"初始物防", u"最大每5秒回血", u"每5秒回血成长", u"初始每5秒回血", u"最大每5秒回蓝", u"每5秒回蓝成长", u"初始每5秒回蓝", u"最大攻速", u"攻击范围"]data = data_ori[features]

数据可视化的探索我们将 20 个英雄属性之间的关系用热力图呈现了出来，中间的数字代表两个属性之间的关系系数，最大值为 1，代表完全正相关，关系系数越大代表相关性越大。从图中你能看出来“最大生命”“生命成长”和“初始生命”这三个属性的相关性大，我们只需要保留一个属性即可。同理我们也可以对其他相关性大的属性进行筛选，保留一个。你在代码中可以看到，我用 features_remain 数组保留了特征选择的属性，这样就将原本的 20 个属性降维到了 13 个属性。

# 对英雄属性之间的关系进行可视化分析# 设置plt正确显示中文plt.rcParams["font.sans-serif"]=["SimHei"] #用来正常显示中文标签plt.rcParams["axes.unicode_minus"]=False #用来正常显示负号# 用热力图呈现features_mean字段之间的相关性corr = data[features].corr()plt.figure(figsize=(14,14))# annot=True显示每个方格的数据sns.heatmap(corr, annot=True)plt.show()

结果如下：

特征工程

# 相关性大的属性保留一个，因此可以对属性进行降维features_remain = [u"最大生命", u"初始生命", u"最大法力", u"最高物攻", u"初始物攻", u"最大物防", u"初始物防", u"最大每5秒回血", u"最大每5秒回蓝", u"初始每5秒回蓝", u"最大攻速", u"攻击范围"]data = data_ori[features_remain]

数据规范化我们能看到“最大攻速”这个属性值是百分数，不适合做矩阵运算，因此我们需要将百分数转化为小数。我们也看到“攻击范围”这个字段的取值为远程或者近战，也不适合矩阵运算，我们将取值做个映射，用 1 代表远程，0 代表近战。然后采用 Z-Score 规范化，对特征矩阵进行规范化。

data[u"最大攻速"] = data[u"最大攻速"].apply(lambda x: float(x.strip("%"))/100)data[u"攻击范围"]=data[u"攻击范围"].map({"远程":1,"近战":0})# 采用Z-Score规范化数据，保证每个特征维度的数据均值为0，方差为1ss = StandardScaler()data = ss.fit_transform(data)

建模并产生结果，写入文件

# 构造GMM聚类gmm = GaussianMixture(n_components=30, covariance_type="full")gmm.fit(data)# 训练数据prediction = gmm.predict(data)print(prediction)# 将分组结果输出到CSV文件中data_ori.insert(0, "分组", prediction)# 结果如下：[28 14 8 9 5 5 15 8 3 14 18 14 9 7 16 18 13 3 5 4 19 12 4 12 12 12 4 17 24 2 7 2 2 24 2 2 24 6 20 22 22 24 24 2 2 22 14 20 14 24 26 29 27 25 25 28 11 1 23 5 11 0 10 28 21 29 29 29 17]

我们采用了 GMM 高斯混合模型，并将结果输出到 CSV 文件中。这里我将输出的结果截取了一段（设置聚类个数为 30）：

第一列代表的是分组（簇），我们能看到张飞、程咬金分到了一组，牛魔、白起是一组，老夫子自己是一组，达摩、典韦是一组。聚类的特点是相同类别之间的属性值相近，不同类别的属性值差异大。因此如果你擅长用典韦这个英雄，不防试试达摩这个英雄。同样你也可以在张飞和程咬金中进行切换。这样就算你的英雄被别人选中了，你依然可以有备选的英雄可以使用。

聚类和分类不一样，聚类是无监督的学习方式，也就是我们没有实际的结果可以进行比对，所以聚类的结果评估不像分类准确率一样直观，那么有没有聚类结果的评估方式呢？这里我们可以采用 Calinski-Harabaz 指标，代码如下：

from sklearn.metrics import calinski_harabaz_scoreprint(calinski_harabaz_score(data, prediction))

指标分数越高，代表聚类效果越好，也就是相同类中的差异性小，不同类之间的差异性大。当然具体聚类的结果含义，我们需要人工来分析，也就是当这些数据被分成不同的类别之后，具体每个类表代表的含义。

另外聚类算法也可以作为其他数据挖掘算法的预处理阶段，这样我们就可以将数据进行降维了。

6. 总结

到这终于写完了， 我的天啊，每次写都是这么多，这可以慢慢的干货啊，虽然多，但真的可以学到东西。赶紧来总结一下，今天首先从分菜的例子出发，感受了一下EM算法。

然后，我们从抛硬币的例子，知道了初级EM和升级版EM。然后解释了EM的工作原理，EM 算法中的 E 步骤就是通过旧的参数来计算隐藏变量。然后在 M 步骤中，通过得到的隐藏变量的结果来重新估计参数。直到参数不再发生变化，得到我们想要的结果。

接下来，就是对比了EM和KMeans的区别，知道了EM可以解决Kmeans不能解决的一些问题，并且EM是个框架，具体实现包括高斯混合模型和隐马尔可夫模型，后期会具体讲隐马尔可夫。

最后，调用sklearn的EM算法工具完成了一个王者荣耀英雄的聚类任务， 知道了一个衡量聚类结果的函数。

希望通过今天的学习可以对EM算法在感性上有一个了解，至于理性方面， 可以看看西瓜书或者统计学习方法进行深一步的学习了。

参考：

/noteshare?id=2949a4c56e27b97df5fa282dc75060e7&sub=B08633D2250849F2B33A5947351E8389/coshaho/p/9573367.html/taka_is_beauty/article/details/88095032

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我是终身学习者“老马”，一个长期践行“结伴式学习”理念的中年大叔。

我崇尚分享，渴望成长，于创立了“LSGO软件技术团队”，并加入了国内着名的开源组织“Datawhale”，也是“Dre@mtech”、“智能机器人研究中心”和“大数据与哲学社会科学实验室”的一员。

愿我们一起学习，一起进步，相互陪伴，共同成长。

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