解答题定义在实数集R上的偶函数f（x）在[0 +∞）上是单调递增函数．（1）试判断并证

问题补充：

解答题定义在实数集R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上是单调递增函数．

（1）试判断并证明f（x）在（-∞，0）上的单调性；

（2）若f（1）＜f（lgx），求x的取值范围．

答案：

解：（1）f（x）在（-∞，0）是单调减函数（2分）

设x1＜x2＜0，则-x1＞-x2＞0，

∵f（x）在（0，+∞）是单调增函数

∴f（-x1）＞f（-x2），

又∵f（x）是偶函数，

∴f（x1）＞f（x2）

∴f（x）在（-∞，0）是单调减函数（8分）

（2）由f（x）是偶函数，

f（1）＜f（|lgx|）又f（x）是（0，+∞）上的单调增函数

∴|lgx|＞1；（11分）

∴lgx＞1或lgx＜-1

∴x＞10或0＜x＜为所求x的取值范围．（14分）解析分析：（1）设x1＜x2＜0，则-x1＞-x2＞0，由f（x）在（0，+∞）是单调增函数从而有f（-x1）＞f（-x2），再由f（x）是偶函数，得到f（x1）＞f（x2）由定义得证．（2）通过f（x）是偶函数，将模型转化为：f（1）＜f（|lgx|），再利用f（x）是（0，+∞）上的单调增函数求解．点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合运用，还考查了转化思想，属中档题．

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