问题补充:
已知:如图,四边形ABCD中,∠ADC=60°,∠ABC=30°,AD=CD.求证:BD2=AB2+BC2.
答案:
解:如图,
将△ADB以D为旋转中心,顺时针旋转60°,使A与C点重合,B与E点重合,连接BE,
∴∠ABD=∠CED,∠A=∠ECD,AB=CE,DB=DE,
又∵∠ADC=60°,
∴∠BDE=60°,
∴△DBE为等边三角形,
∴DB=BE,
又∴∠ECB=360°-∠BCD-∠DCE
=360°-∠BCD-∠A
=360°-(360°-∠ADC-∠ABC)
=60°+30°
=90°,
∴△ECB为直角三角形,
∴EC2+BC2=BE2,
∴BD2=AB2+BC2.
解析分析:将△ADB以D为旋转中心,顺时针旋转60°,使A与C点重合,B与E点重合,连接BE,根据旋转的性质得∴∠ABD=∠CED,∠A=∠ECD,AB=CE,DB=DE,易得△DBE为等边三角形,则DB=BE,根据周角的定义和四边形内角和定理得∠ECB=360°-∠BCD-∠DCE=360°-∠BCD-∠A=360°-(360°-∠ADC-∠ABC)=60°+30°=90°,则△ECB为直角三角形,根据勾股定理得EC2+BC2=BE2,利用等线段代换即可得到结论.
点评:本题考查了旋转的性质:旋转前后两图形全等,即对应角相等,对应线段相等,对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角.也考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理.
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