问题补充:
如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+3的图象与y轴交于点C,与x轴交于A、B两点,其图象顶点为D,OB=OC,tan∠ACO=.
(1)填空:点A的坐标______、点B的坐标______;
(2)求二次函数y=ax2+bx+3及直线CD的解析式;
(3)直线CD与x轴交于点E,是否存在点F,使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出所有点F的坐标;若不存在,请说明理由.
答案:
解:(1)A(-1,0)、B(3,0);
(2)(方法一)
∵点A、B在二次函数y=ax2+bx+3的图象上
∴得:
∴二次函数解析式为y=-x2+2x+3
∵
∴顶点D(1,4)
设直线CD的解析式为:y=k1x+b1得:
∴直线CD的解析式为:y=x+3
(方法二)
设二次函数解析式为y=a(x+1)(x-3)
∵点C(0,3)在二次函数图象上∴-3a=3,a=-1
∴y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4∴顶点D(1,4)
设直线CD的解析式为:y=k1x+b1得:
∴直线CD的解析式为:y=x+3
(3)当y=0时,x+3=0
解得:x=-3,∴E(-3,0)
存在点F,使以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形
有三种情况:
①以AC、AE为邻边:则CFAE
∵AE=2,∴F(-2,3)
②以EC、AE为邻边:则CFAE
∵AE=2,∴F(2,3)
③以AC、EC为邻边:
过F作FG⊥x轴则△EGF≌△AOC,∴EG=OA=1,GF=OC=3
∵F在第三象限∴F(-4,-3)
综上所述:点F的坐标为(2,3)或(-2,3)或(-4,-3)
解析分析:(1)直接得出点C的坐标,再根据OB=OC,得出点B的坐标,再由tan∠ACO=,得出OC=3OA,从而得出点A的坐标;
(2)将AB两点代入即可得出二次函数y=ax2+bx+3的解析式,再求得点D的坐标,从而得出直线CD的解析式;
(3)分三种情况:①以AC、AE为邻边:则CFAE②以EC、AE为邻边:则CFAE;③以AC、EC为邻边.
点评:本题是一道综合题,考查了二次函数解析式和一次函数解析式的求法,以及平行四边形的判定,主要考查学生数形结合的数学思想方法.
如图 在平面直角坐标系中 二次函数y=ax2+bx+3的图象与y轴交于点C 与x轴交于A B两点 其图象顶点为D OB=OC tan∠ACO=.(1)填空:点A的坐标
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