问题补充:
已知:在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,点A在点B的左侧,直线y=kx+3与该二次函数的图象交于D、B两点,其中点D在y轴上,点B的坐标为(3,0).
(1)求k的值和这个二次函数的解析式.
(2)设抛物线的顶点为C,点F为线段DB上一点,且使得∠DCF=∠ODB,求出此时点F的坐标.
(3)在(2)的条件下,若点P为直线DB上的一个动点,过点P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E.问:是否存在这样的点P,使得以点P、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.
答案:
解:(1)∵直线y=kx+3经过点B(3,0),
∴可求出k=-1.
由题意可知,点D的坐标为(0,3).
∵抛物线y=-x2+bx+c经过点B和点D,
解得
∴抛物线的解析式为
y=-x2+2x+3;
(2)如图,可求顶点C的坐标为(1,4).
由题意,可知∠ODB=45°.
过点D作此抛物线对称轴的垂线DG,
可知DG=CG=1,
所以此时∠DCG=45°,
则易知点F的坐标为(1,2);
(3)存在这样的点P,使得以点P、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形.
理由如下:由题意知PE∥CF,
∴要使以点P、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形,只要满足PE=CF=2即可.
∵点P在直线DB上,
∴可设点P的坐标为(x,-x+3).
∵点E在抛物线y=-x2+2x+3上,
∴可设点E的坐标为(x,-x2+2x+3).
∴当-x+3-(-x2+2x+3)=2时,解得;
当-x2+2x+3-(-x+3)=2时,解得x=1或x=2,
x=1不合题意,舍去.
∴满足题意的点P的横坐标分别为,,x3=2.
解析分析:(1)本题需先根据直线y=kx+3和点B的坐标代入即可求出k的值,再有点D的坐标代入二次函数y=-x2+bx+c中,即可求出b、c的值,即可求出
已知:在平面直角坐标系xOy中 二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴交于A B两点 点A在点B的左侧 直线y=kx+3与该二次函数的图象交于D B两点 其中点D在
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