问题补充:
如图,直线分别与x轴、y轴交于A、B两点;直线与AB交于点C,与过点A且平行于y轴的直线交于点D.点E从点A出发,以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动.过点E作x轴的垂线,分别交直线AB、OD于P、Q两点,以PQ为边向右作正方形PQMN.设正方形PQMN与△ACD重叠部分(阴影部分)的面积为S(平方单位),点E的运动时间为t(秒).
(1)求点C的坐标.
(2)当0<t<5时,求S与t之间的函数关系式.并求出中S的最大值.
(3)当t>0时,直接写出点(5,3)在正方形PQMN内部时t的取值范围.
答案:
解:(1)由题意,得
解得:
∴C(3,);
(2)根据题意得:AE=t,OE=OA-EA=8-t
∴点Q的纵坐标为(8-t),点P的纵坐标为-(8-t)+6=
∴PQ=(8-t)+6=
当MN在AD上时,10-2t=t,
∴t=;当0<t≤时,
S=AE×PQ=t(10-2t),
即S=-2t2+10t
当≤t<5时,
S=PQ2=(10-2t)2,
即S=4t2-40t+100
当0<t≤时,
S=-2(t-)2+
∴当t=时,
S最大值=
当≤t<5时,S=4(t-5)2,
∵t<5时,S随t的增大而减小,
∴t=时,S最大值=
∵>,
∴S的最大值为.
(3)当t=5时,PQ=0,P,Q,C三点重合;
当t<5时,知OE=4时是临界条件,即8-t=4
即t=4
∴点Q的纵坐标为5>3,
点(5,3)在正方形边界PQ上,E继续往左移动,则点(5,3)进入正方形内部,但点Q的纵坐标再减少,当Q点的纵坐标为3时,OE=4
∴8-t=4
即t=4,
此时OE+PN=4+PQ=4+(10-2t)=6>3满足条件,
∴3<t<4,
当t>5时,由图和条件知,则有E(t-8,0),PQ=2t-10要满足点(5,3)在正方形的内部,
则临界条件N点横坐标为4?4=PQ+OE=|2t-10|+|t-8|=3t-18
即t=7,此时Q点的纵坐标为:-×2+7=.满足条件,
∴t>7.
综上所述:3<t<4或t>7时,点(5,3)都在正方形的内部.
解析分析:(1)首先根据题意求得A,B,C,D的坐标,然后过点C作CH⊥AD,易得△CPQ∽△CAD,由相似三角形的性质,即可求得PQ的值,则可求得S与t之间的函数关系式;
(2)配方,即可求得二次函数的最大值,即是S的最大值;
(3)当PQ过点(5,3)时,t最小;当N与(5,3)重合时,t最大,根据题意求解即可.
点评:此题考查了一次函数的综合应用,考查了相似三角形的性质与判定,正方形的性质等知识.此题综合性很强,难度较大,解题时要注意数形结合思想的应用.
如图 直线分别与x轴 y轴交于A B两点;直线与AB交于点C 与过点A且平行于y轴的直线交于点D.点E从点A出发 以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动.过点E作x轴的垂
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