全排列生成算法
综合网上的各种介绍，全排列有四种方法：字典序法，递增进位制数法，递减进位制数法，邻位对换法。本文重点介绍字典序法，其他算法只做简要介绍。
字典序法
字典序法定义
字典序，顾名思义就是按照字典的顺序（a-z, 1-9）。以字典序为基础，我们可以得出任意两个数字串的大小。比如 "1" < "12"<"13"。 就是按每个数字位逐个比较的结果。对于一个数字串，“123456789”， 可以知道最小的串是 从小到大的有序串“123456789”，而最大的串是从大到小的有序串“*987654321”。这样对于“123456789”的所有排列，将他们排序，即可以得到按照字典序排序的所有排列的有序集合。
如此，当我们知道当前的排列时，要获取下一个排列时，就可以范围有序集合中的下一个数（恰好比他大的）。比如，当前的排列时“123456879”， 那么恰好比他大的下一个排列就是“123456897”。 当当前的排列时最大的时候，说明所有的排列都找完了。
算法描述
设P是1～n的一个全排列:P=p1p2......pn=p1p2......pj-1pjpj+1......pk-1pkpk+1......pn
1）从排列的右端开始，找出第一个比右边数字小的数字的序号j（j从左端开始计算），即 j=max{i|pi<pi+1}
2）在pj的右边的数字中，找出所有比pj大的数中最小的数字pk，即 k=max{i|pi>pj}（右边的数从右至左是递增的，因此k是所有大于pj的数字中序号最大者）
3）对换pj，pk
4）再将pj+1......pk-1pkpk+1......pn倒转得到排列p'=p1p2.....pj-1pjpn.....pk+1pkpk-1.....pj+1，这就是排列P的下一个排列。
例如839647521是数字1～9的一个排列。从它生成下一个排列的步骤如下：
自右至左找出排列中第一个比右边数字小的数字4 839647521
在该数字后的数字中找出比4大的数中最小的一个5 839647521
将5与4交换 839657421
将7421倒转 839651247
所以839647521的下一个排列是839651247。
839651247的下一个排列是839651274。
算法证明
算法证明可以参考一下卢开澄老师的《组合数学》点击此处下载
要证明这个算法的正确性，我们只要证明生成的下一个排序是恰好比当前排列大的一个序列即可。图1.11是从卢开澄老师的《组合数学》中截取的一个有1234生成所有排序的字典序树。从左到右的每一个根到叶子几点的路径就是一个排列。下面我们将以这个图为基础，来证明上面算法的正确性。算法步骤1，得到的子串 s = {pj+1,.....,pn}， 是按照从大到小进行排列的。即有 pj+1 > pj+2 > ... > pn，因为j=max{i|pi<pi+1}。算法步骤2，得到了最小的比pj大的pk，从n往j数，第一个比j大的数字。将pk和pj替换，保证了替换后的数字比当前的数字要大。 于是得到的序列为 p1p2...pj-1pkpj+1...pk-1pjpk-1...pn.注意这里已经将pk替换成了pk。 这时候我们注意到比p1..pj-1pk.....，恰好比p1....pj.....pn大的数字集合。我们在这个集合中挑选出最小的一个即时所要求的下一个排列。算法步骤3，即是将pk后面的数字逆转一下（从从大到小，变成了从小到大。） 由此经过上面3个步骤得到的下个排列时恰好比当前排列大的排列。 同时我们注意到，当所有排列都找完时，此时数字串从大到小排列。步骤1得到的j = 0，算法结束。
算法实现（C++）
#include <iostream>#include <string>#include <algorithm>using namespace std;inline void swap(char &a, char &b){a = a^b;b = a^b;a = a^b;}string NextString(string str){int i,k;int j=-1;int length = str.length(); //字符串长度,str下标是从0到(length-1)//先找出第一个比右边字符小的字符的序号j,即j=max{i|str[i]<str[i+1]}for(i=length-2;i>=0;i--){if(str[i]<str[i+1]){j=i;break;}}//如果j在上面的循环中未发生改变，则表明该string已经是最大的组合了，将原始string返回if(j==-1)return str;//在str[j]右侧找出大于str[j]的最小字符str[k]，即k=max{i|str[i]>str[j]}//str[j]右边的字符从右至左是递增的，因此最小的大于str[j]的字符，其下标必定是最大的，也即k是所有大于str[j]的字符中序号最大者i=j+1; //str[j]右边的第一个字符必定是大于str[j]的do{k = i;i++;}while(i<length && str[i]>str[j]);//交换str[j]与str[k]swap(str[j],str[k]);//倒转string next(str);for(int l=0,i=j+1;i<length;i++,l++){next[i]=str[length-1-l];}return next;}int main(){string a = "9876543210"; //下标从0到(length-1)//先将a由小到大排序一下sort(a.begin(),a.end());string next(a);do{a = next;cout<<next<<" ";next = NextString(a);}while(next!=a);cout<<endl;return 0;}
递增进位制数法
在递增进位制数法中，从一个排列求另一个排列需要用到中介数。如果用 ki表示排列p1p2...pi...pn中元素pi的右边比pi小的数的个数，则排列的中介数就是对应的排列k1 ...... ki...... kn-1。
例如排列839647521的中介数是72642321，7、2、6、......分别是排列中数字8、3、9、......的右边比它小的数字个数。
中介数是计算排列的中间环节。已知一个排列，要求下一个排列，首先确定其中介数，一个排列的后继，其中介数是原排列中介数加1，需要注意的是，如果中介数 的末位kn-1+1=2，则要向前进位，一般情形，如果ki+1=n-i+1，则要进位，这就是所谓的递增进位制。例如排列839647521的中介数是 72642321，则下一个排列的中介数是67342221+1=67342300（因为1+1=2，所以向前进位，2+1=3，又发生进位，所以下一个 中介数是67342300）。
得到中介数后，可根据它还原对应得排列。算法如下：
中介数k1、k2、......、kn-1的各位数字顺序表示排列中的数字n、n-1、......、2在排列中距右端的的空位数，因此，要按k1、 k2、......、kn-1的值从右向左确定n、n-1、......、2的位置，并逐个放置在排列中：i放在右起的ki+1位，如果某位已放有数字， 则该位置不算在内，最后一个空位放1。
因此从67342300可得到排列849617523，它就是839647521的后一个排列。因为9最先放置，k1=6，9放在右起第7位，空出6个空位，然后是放8，k2=7，8放在右起第8位，但9占用一位，故8应放在右起第9位，余类推。
递减进位制数
在递增进位制数法中，中介数的最低位是逢2进1，进位频繁，这是一个缺点。把递增进位制数翻转,就得到递减进位制数。
839647521的中介数是67342221(k1k2…kn-1)，倒转成为12224376(kn-1…k2k1)，这是递减进位制数的中介数： ki(i=n-1,n-2,…,2)位逢i向ki-1位进1。给定排列p，p的下一个排列的中介数定义为p的中介数加1。例如p=839647521，p 的中介数为12224376，p的下一个排列的中介数为12224376+1=12224377，由此得到p的下一个排列为893647521。
给定中介数，可用与递增进位制数法类似的方法还原出排列。但在递减进位制数中，可以不先计算中介数就直接从一个排列求出下一个排列。具体算法如下：
1）如果p(i)=n且i<>n，则p(i)与p(i-1)交换
2）如果p(n)=n，则找出一个连续递减序列9、8、......、i，将其从排列左端删除，再以相反顺序加在排列右端，然后将i-1与左边的数字交换
例如p=893647521的下一个排列是983647521。求983647521的下一个排列时，因为9在最左边且第2位为8，第3位不是7，所以将 8和9从小到大排于最右端364752189，再将7与其左方数字对调得到983647521的下一个排列是367452189。又例如求 987635421的下一个排列，只需要将9876从小到大排到最右端并将5与其左方数字3对调，得到534216789。
邻位对换法
邻位对换法中下一个排列总是上一个排列某相邻两位对换得到的。以4个元素的排列为例，将最后的元素4逐次与前面的元素交换，可以生成4个新排列：1 2 3 4
3 1 2 4
元素增值法（n进制法）
1）从原始排列p=p1p2......pn开始，第n位加n-1，如果该位的值超过n，则将它除以n，用余数取代该位，并进位（将第n-1位加1）
2）再按同样方法处理n-1位，n-2位，......，直至不再发生进位为止，处理完一个排列就产生了一个新的排列
3）将其中有相同元素的排列去掉
4）当第一个元素的值>n则结束
递归类算法
全排列的生成方法用递归方式描述比较简洁，实现的方法也有多种。(1) 回溯法
回溯法通常是构造一颗生成树。以3个元素为例；树的节点有个数据，可取值是1、2、3。如果某个为0，则表示尚未取值。初始状态是(0，0，0)，第1个元素值可以分别挑选1，2，3，因此扩展出3个子结点。用相同方法找出这些结点的第2个元素的可能值，如此反复进行，一旦出现新结点的3个数据全非零，那就找到了一种全排列方案。当尝试了所有可能方案，即获得了问题的解答。
(2) 递归算法
如果用P表示n个元素的排列，而Pi表示不包含元素i的排列，(i)Pi表示在排列Pi前加上前缀i的排列，那么，n个元素的排列可递归定义为：如果n=1，则排列P只有一个元素i
如果n>1，则排列P由排列(i)Pi构成（i=1、2、....、n-1）。
根据定义，容易看出如果已经生成了k-1个元素的排列，那么，k个元素的排列可以在每个k-1个元素的排列Pi前添加元素i而生成。例如2个元素的排列是 1
(3)循环移位法
如果已经生成了k-1个元素的排列，则在每个排列后添加元素k使之成为k个元素的排列，然后将每个排列循环左移（右移），每移动一次就产生一个新的排列。例如2个元素的排列是1 2和2 1。在1 2 后加上3成为新排列1 2 3，将它循环左移可再生成新排列2 3 1、3 1 2，同样2 1 可生成新排列2 1 3、1 3 2和3 2 1。
参考文献： 点击打开链接、 点击打开链接
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