控制算法学习 一、卡尔曼滤波（4）最优估计的无偏性
前言无偏估计卡尔曼滤波的无偏性证明后记前言
这是线性卡尔曼滤波的最后一部分内容，即线性卡尔曼滤波的无偏性证明。
无偏估计
无偏估计，是指对于某个系统而言，对它的状态估计 x ^ n \hat x_n x^n的期望与真实状态 x n x_n xn的期望相同，即 E ( x n − x ^ n ) = 0 E(x_n-\hat x_n) = 0 E(xn−x^n)=0。
卡尔曼滤波的无偏性证明
假设上一时刻的状态最优估计 x ^ n − 1 ∣ n − 1 \hat x_{n-1|n-1} x^n−1∣n−1是无偏的，即：
E ( x n − 1 − x ^ n − 1 ∣ n − 1 ) = 0 E(x_{n-1} - \hat x_{n-1|n-1})=0 E(xn−1−x^n−1∣n−1)=0
通过状态方程，获得本时刻的状态预测：
x ^ n ∣ n − 1 = A x ^ n − 1 ∣ n − 1 + w n , w n ∼ N ( 0 , R ) \hat x_{n|n-1} = A \hat x_{n-1|n-1}+w_n,w_n \sim N(0,R) x^n∣n−1=Ax^n−1∣n−1+wn,wn∼N(0,R)
状态方程同样能够运用到真实状态 x n − 1 x_{n-1} xn−1上，证明状态预测是无偏的（注意真实状态预测是没有过程噪声的）：
x n = A x n − 1 E ( x n − x ^ n ∣ n − 1 ) = E ( A x n − 1 − A x ^ n − 1 ∣ n − 1 − w n ) = A E ( x n − 1 − x ^ n − 1 ∣ n − 1 ) = 0 x_n=Ax_{n-1} \\ \quad \\ E(x_n- \hat x_{n|n-1})=E(Ax_{n-1} - A \hat x_{n-1|n-1} - w_n) \\ =AE(x_{n-1}-\hat x_{n-1|n-1})=0 \\ xn=Axn−1E(xn−x^n∣n−1)=E(Axn−1−Ax^n−1∣n−1−wn)=AE(xn−1−x^n−1∣n−1)=0
通过观测方程，获得本时刻的观测预测（注意观测预测是没有传感器噪声的）：
z ^ n ∣ n − 1 = H A x ^ n − 1 ∣ n − 1 + H w n \hat z_{n|n-1} = HA\hat x_{n-1|n-1}+Hw_n z^n∣n−1=HAx^n−1∣n−1+Hwn
通过观测残差和卡尔曼增益，获得本时刻的最优估计：
x ^ n ∣ n = x ^ n ∣ n − 1 + K k ( z ^ n − z ^ n ∣ n − 1 ) = ( I − K k H ) x ^ n ∣ n − 1 + K k H x n + K k v n x ^ n ∣ n − x n = ( I − K k H ) x ^ n ∣ n − 1 + K k H x n + K k v n − x n = ( I − K k H ) x ^ n ∣ n − 1 − ( I − K k H ) x n + K k v n \begin{aligned} \hat x_{n|n} &= \hat x_{n|n-1} + K_k(\hat z_n - \hat z_{n|n-1}) \\ &= (I-K_kH)\hat x_{n|n-1} + K_kHx_n+K_kv_n \\ \quad \\ \hat x_{n|n} - x_n &= (I-K_kH)\hat x_{n|n-1} + K_kHx_n+K_kv_n -x_n \\ &= (I-K_kH)\hat x_{n|n-1} - (I - K_kH)x_n+K_kv_n \\ \end{aligned} x^n∣nx^n∣n−xn=x^n∣n−1+Kk(z^n−z^n∣n−1)=(I−KkH)x^n∣n−1+KkHxn+Kkvn=(I−KkH)x^n∣n−1+KkHxn+Kkvn−xn=(I−KkH)x^n∣n−1−(I−KkH)xn+Kkvn
由以上可以进一步推导：
E ( x ^ n ∣ n − x n ) = E ( ( I − K k H ) x ^ n ∣ n − 1 − ( I − K k H ) x n + K k v n ) = ( I − K k H ) E ( x ^ n ∣ n − 1 − x n ) + K k E ( v n ) = 0 E(\hat x_{n|n} - x_n)= E((I-K_kH)\hat x_{n|n-1} - (I - K_kH)x_n+K_kv_n) \\ = (I-K_kH)E(\hat x_{n|n-1} - x_n) + K_kE(v_n) =0 \\ E(x^n∣n−xn)=E((I−KkH)x^n∣n−1−(I−KkH)xn+Kkvn)=(I−KkH)E(x^n∣n−1−xn)+KkE(vn)=0
由此，就推出了 E ( x ^ n ∣ n − x n ) = 0 E(\hat x_{n|n} - x_n)=0 E(x^n∣n−xn)=0，表明线性卡尔曼滤波是无偏的。
后记
卡尔曼滤波的无偏性，要求上一时刻的最优估计是无偏的。
因此，卡尔曼滤波实际上是保持无偏性。线性卡尔曼滤波是无偏估计的前提为初始状态估计无偏。一旦滤波过程中出现非线性，卡尔曼滤波就不再是无偏估计了。
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