20.0 C语言数据结构——图的存储结构

20.0、C语言数据结构——图的存储结构

图的存储结构相比较线性表与树来说就复杂很多了；

1. 我们回顾下，对于线性表来说，是一对一的关系，所以用数组或者链表均可简单存放；树结构是一对多的关系，所以我们要将数组和链表的特性结合在一起才能更好的存放；

2. 那么我们的图是多对多的情况，另外图上的任何一个顶点都可以被看做是第一个顶点，任意顶点的邻接点之间不存在次序关系；

3. 因为任意两个顶点之间都可能存在联系，因此无法以数据元素在内存中的物理位置来表示元素之间的关系（内存物理位置是线性的，图的元素关系是平面的）；

4. 如果用多重链表来描述倒是可以做到，但在几节课前的树章节我们已经讨论过了，纯粹用多重链表导致的浪费是无法想象的（如果各个顶点的度数相差太大，就会导致浪费）；

1. 考虑到图是由顶点和边或弧两部分组成的，合在一起比较困难，那就很自然的考虑到分为两个结构来分别存储；

2. 顶点因为不区分大小，主次，所以用一个一维数组来存储是很不错的选择；

3. 而边或弧由于是顶点与顶点之间的关系，一维数组肯定就搞不定了，那我们不妨考虑一个二维数组来存储；

图的邻接矩阵（Adjacency Matrix）存储方式是用两个数组来表示图；一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组（称为邻接矩阵）存储图中的边或弧的信息；

我们可以设置两个数组，顶点数组为vertex[4] = { v0，v1，v2，v3 } ，边数组 arc [ 4 ] [ 4 ] 为对称矩阵（0表示不存在顶点间的边，1表示顶点间存在边）；

对称矩阵：

所谓对称矩阵就是n阶矩阵的元满足 a [ i ] [ j ] == a [ j ] [ i ]；即从矩阵的左上角到右下角的主对角线为轴，右上角的元与左下角相对应的元全都是相等的；

有了这个二维数组组成的对称矩阵，我们就可以很容易的知道图中的信息：

- 要判定任意两顶点是否有边无边就非常容易了；

- 要知道某个顶点的度，其实就是这个顶点 Vi 在邻接矩阵中第 i 行（或第 i 列）的元素之和；

- 求顶点 Vi 的所有邻接点就是将矩阵中第 i 行元素扫描一遍， arc [ i ] [ j ] 为 1 就是邻接点；

无向图的边构成了一个对称矩阵，貌似浪费了一般的空间，那如果是有向图来存放，会不会把资源都利用的很好呢？

可见顶点数组 vertex [ 4 ] = {V0,V1,V2,V3}，弧数组arc [ 4 ] [ 4 ] 也是一个矩阵，但因为是有向图，所以这个矩阵并不对称，例如由 V1 到 V0 有弧，得到 arc [ 1] [ 0] = 1，而 V0到 V1 没有弧，因此arc [ 0 ][ 1]= 0；

另外有向图是有讲究的，要考虑入度和出度，顶点 V1的入度为 1，正好是第 V1 列的各数之和，顶点 V1 的出度为 2 ，正好第 V2 行的各数之和；

在图的术语中，我们提到了网这个概念，事实上也就是每条边上带有权的图就叫网；

这里∞ 表示一个计算机允许的，大于所有边上权值的值；

图的存储结构 -> 邻接表

邻接矩阵看上去是个不错的选择，首先是容易理解，第二是索引和编排都很合理；

但是我们也发现，对于边数相对顶点较少的图，这种结构无疑是存在对存储空间的极大浪费；

因此我们可以考虑另外一种存储结构方式，例如把数组与链表结合一起来存储，这种方式在图结构也适用，我们称为邻接表（AdjacencyList）;

邻接表的处理方法是这样：

- 图中顶点用一个一位数组存储，当然顶点也可以用单链表来存储，不过数组可以较容易的读取顶点的信息，更加方便；

- 图中每个顶点 Vi 的所有邻接点构成一个线性表，由于邻接点的个数不确定，所以我们选择用单链表来存储；

若是有向图，邻接表结构也是类似的，我们先来看下把顶点当弧尾建立的邻接表，这样很容易就可以得到每个顶点的出度：

但也有时为了便于确定顶点入度或以顶点为弧头的弧，我们可以建立有向图的逆邻接表：

此时我们很容易就可以得出某个顶顶啊的入度或出度是多少，判断两顶点是否存在弧也很容易实现；

对于带权值的网图，可以在边表结点定义中在增加一个数据域来存储权值即可：

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