一、逻辑回归简介
逻辑回归（Logistic regression，简称LR），是一个分类模型。
原理简介：
Logistic回归虽然名字里带“回归”，但是它实际上是一种分类方法，主要用于两分类问题（即输出只有两种，分别代表两个类别），所以利用了Logistic函数（或称为Sigmoid函数），函数形式为：
l o g ( z ) = 1 1 + e − z log(z)=\frac{1}{1+e^{-z}} log(z)=1+e−z1
其对应的函数图像可以表示如下:
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltx = np.arange(-5,5,0.01)y = 1/(1+np.exp(-x))plt.plot(x,y)plt.xlabel('z')plt.ylabel('y')plt.grid()plt.show()
通过上图我们可以发现 Logistic 函数是单调递增函数，并且在z=0的时候取值为0.5，并且 l o g i ( ⋅ ) logi(\cdot) logi(⋅)函数的取值范围为 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)。
而回归的基本方程为 z = w 0 + ∑ i N w i x i z=w_0+\sum_i^N w_ix_i z=w0+∑iNwixi，
将回归方程写入其中为：
p = p ( y = 1 ∣ x , θ ) = h θ ( x , θ ) = 1 1 + e − ( w 0 + ∑ i N w i x i ) p = p(y=1|x,\theta) = h_\theta(x,\theta)=\frac{1}{1+e^{-(w_0+\sum_i^N w_ix_i)}} p=p(y=1∣x,θ)=hθ(x,θ)=1+e−(w0+∑iNwixi)1
所以, p ( y = 1 ∣ x , θ ) = h θ ( x , θ ) p(y=1|x,\theta) = h_\theta(x,\theta) p(y=1∣x,θ)=hθ(x,θ)， p ( y = 0 ∣ x , θ ) = 1 − h θ ( x , θ ) p(y=0|x,\theta) = 1-h_\theta(x,\theta) p(y=0∣x,θ)=1−hθ(x,θ)
逻辑回归从其原理上来说，逻辑回归其实是实现了一个决策边界：对于函数 y = 1 1 + e − z y=\frac{1}{1+e^{-z}} y=1+e−z1,当 z = > 0 z=>0 z=>0时, y = > 0.5 y=>0.5 y=>0.5,分类为1，当 z < 0 z<0 z<0时, y < 0.5 y<0.5 y<0.5,分类为0，其对应的 y y y值我们可以视为类别1的概率预测值.
对于模型的训练而言：实质上来说就是利用数据求解出对应的模型的特定的 w w w。从而得到一个针对于当前数据的特征逻辑回归模型。
而对于多分类而言，将多个二分类的逻辑回归组合，即可实现多分类。
逻辑回归的优劣势:
优点：实现简单，易于理解和实现；计算代价不高，速度很快，存储资源低；缺点：容易欠拟合，分类精度可能不高
二、sklearn下的逻辑回归
Step 1:函数导入
## 基础函数库import numpy as np ## 导入画图库import matplotlib.pyplot as pltimport seaborn as sns## 导入sklearn包中的逻辑回归函数from sklearn.linear_model import LogisticRegression
API介绍：
sklearn下的LogisticRegression
Step2:模型训练
## 构造数据集——示例数据x_fearures = np.array([[-1, -2], [-2, -1], [-3, -2], [1, 3], [2, 1], [3, 2]])y_label = np.array([0, 0, 0, 1, 1, 1])## 调用逻辑回归模型lr_clf = LogisticRegression()## 用逻辑回归模型拟合构造的数据集lr_clf = lr_clf.fit(x_fearures, y_label) #其拟合方程为 y=w0+w1*x1+w2*x2
Step3:模型参数查看
## 查看其对应模型的wprint('the weight of Logistic Regression:',lr_clf.coef_)## 查看其对应模型的w0print('the intercept(w0) of Logistic Regression:',lr_clf.intercept_)
输出：
the weight of Logistic Regression: [[0.73462087 0.6947908 ]]
the intercept(w0) of Logistic Regression: [-0.03643213]
Step4:数据和模型可视化
## 可视化构造的数据样本点plt.figure()plt.scatter(x_fearures[:,0],x_fearures[:,1], c=y_label, s=50, cmap='viridis')plt.title('Dataset')plt.show()
API介绍：
matplotlib.pyplot.scatter——散点图
输出：
# 可视化决策边界plt.figure()plt.scatter(x_fearures[:,0],x_fearures[:,1], c=y_label, s=50, cmap='viridis')plt.title('Dataset')nx, ny = 200, 100x_min, x_max = plt.xlim()# 返回图中X轴的最小最大值y_min, y_max = plt.ylim()x_grid, y_grid = np.meshgrid(np.linspace(x_min, x_max, nx),np.linspace(y_min, y_max, ny))z_proba = lr_clf.predict_proba(np.c_[x_grid.ravel(), y_grid.ravel()])z_proba = z_proba[:, 1].reshape(x_grid.shape)plt.contour(x_grid, y_grid, z_proba, [0.5], linewidths=2., colors='blue')plt.show()
API介绍：
np.linspace——创建等差数列
np.meshgrid——生成网格矩阵
np.ndarray.ravel()——将数据降到1-D
np.c_——按列连接2个矩阵
plt.contour——轮廓图
输出：
### 可视化预测新样本plt.figure()## new point 1x_fearures_new1 = np.array([[0, -1]])plt.scatter(x_fearures_new1[:,0],x_fearures_new1[:,1], s=50, cmap='viridis')plt.annotate(text='New point 1',xy=(0,-1),xytext=(-2,0),color='blue',arrowprops=dict(arrowstyle='-|>',connectionstyle='arc3',color='red'))## new point 2x_fearures_new2 = np.array([[1, 2]])plt.scatter(x_fearures_new2[:,0],x_fearures_new2[:,1], s=50, cmap='viridis')plt.annotate(text='New point 2',xy=(1,2),xytext=(-1.5,2.5),color='red',arrowprops=dict(arrowstyle='-|>',connectionstyle='arc3',color='red'))## 训练样本plt.scatter(x_fearures[:,0],x_fearures[:,1], c=y_label, s=50, cmap='viridis')plt.title('Dataset')# 可视化决策边界plt.contour(x_grid, y_grid, z_proba, [0.5], linewidths=2., colors='blue')plt.show()
API介绍：
plt.annotate——标注点函数
输出：
Step5:模型预测
## 在训练集和测试集上分别利用训练好的模型进行预测y_label_new1_predict = lr_clf.predict(x_fearures_new1)y_label_new2_predict = lr_clf.predict(x_fearures_new2)print('The New point 1 predict class:\n',y_label_new1_predict)print('The New point 2 predict class:\n',y_label_new2_predict)## 由于逻辑回归模型是概率预测模型（前文介绍的 p = p(y=1|x,\theta)）,所以我们可以利用 predict_proba 函数预测其概率y_label_new1_predict_proba = lr_clf.predict_proba(x_fearures_new1)y_label_new2_predict_proba = lr_clf.predict_proba(x_fearures_new2)print('The New point 1 predict Probability of each class:\n',y_label_new1_predict_proba)print('The New point 2 predict Probability of each class:\n',y_label_new2_predict_proba)
The New point 1 predict class:
[0]
The New point 2 predict class:
[1]
The New point 1 predict Probability of each class:
[[0.67507358 0.32492642]]
The New point 2 predict Probability of each class:
[[0.11029117 0.88970883]]
可以发现训练好的回归模型将X_new1预测为类别0（判别面左下侧），X_new2预测为类别1（判别面右上侧）。其训练得到的逻辑回归模型的概率为0.5的判别面为上图中蓝色的线。
三、实战——基于鸢尾花（iris）数据集的逻辑回归分类
Step:1:库函数导入
## 基础函数库import numpy as np import pandas as pd## 绘图函数库import matplotlib.pyplot as pltimport seaborn as sns
Step 2:数据读取/载入
本次我们选择鸢花数据（iris）进行方法的尝试训练，该数据集一共包含5个变量，其中4个特征变量，1个目标分类变量。共有150个样本，目标变量为 花的类别 其都属于鸢尾属下的三个亚属，分别是山鸢尾 (Iris-setosa)，变色鸢尾(Iris-versicolor)和维吉尼亚鸢尾(Iris-virginica)。包含的三种鸢尾花的四个特征，分别是花萼长度(cm)、花萼宽度(cm)、花瓣长度(cm)、花瓣宽度(cm)，这些形态特征在过去被用来识别物种。
## 我们利用 sklearn 中自带的 iris 数据作为数据载入，并利用Pandas转化为DataFrame格式from sklearn.datasets import load_irisdata = load_iris() #得到数据特征iris_target = data.target #得到数据对应的标签iris_features = pd.DataFrame(data=data.data, columns=data.feature_names) #利用Pandas转化为DataFrame格式
Step3:数据信息简单查看
## 利用.info()查看数据的整体信息iris_features.info()
输出：
## 进行简单的数据查看，我们可以利用 .head() 头部.tail()尾部iris_features.head()# iris_features.tail()
输出：
## 其对应的类别标签为，其中0，1，2分别代表'setosa', 'versicolor', 'virginica'三种不同花的类别。iris_target
输出：
## 利用value_counts函数查看每个类别数量pd.Series(iris_target).value_counts()
输出：
2 50
1 50
0 50
dtype: int64
## 对于特征进行一些统计描述iris_features.describe()
输出：
从统计描述中我们可以看到不同数值特征的变化范围。
Step4:可视化描述
## 合并标签和特征信息iris_all = iris_features.copy() ##进行浅拷贝，防止对于原始数据的修改iris_all['target'] = iris_target
## 特征与标签组合的散点可视化sns.pairplot(data=iris_all,diag_kind='hist', hue= 'target')plt.show()
API介绍：
sns.pairplot——展现变量两两之间的关系，线性、非线性、相关等等
输出：
从上图可以发现，在2D情况下不同的特征组合对于不同类别的花的散点分布，以及大概的区分能力。
for col in iris_features.columns:sns.boxplot(x='target', y=col, saturation=0.5,palette='pastel', data=iris_all)plt.title(col)plt.show()
API介绍：
sns.boxplot——箱型图
输出：
利用箱型图我们也可以得到不同类别在不同特征上的分布差异情况。
# 选取其前三个特征绘制三维散点图from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3Dfig = plt.figure(figsize=(10,8))ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')iris_all_class0 = iris_all[iris_all['target']==0].valuesiris_all_class1 = iris_all[iris_all['target']==1].valuesiris_all_class2 = iris_all[iris_all['target']==2].values# 'setosa'(0), 'versicolor'(1), 'virginica'(2)ax.scatter(iris_all_class0[:,0], iris_all_class0[:,1], iris_all_class0[:,2],label='setosa')ax.scatter(iris_all_class1[:,0], iris_all_class1[:,1], iris_all_class1[:,2],label='versicolor')ax.scatter(iris_all_class2[:,0], iris_all_class2[:,1], iris_all_class2[:,2],label='virginica')plt.legend()plt.show()
输出：
Step5:利用 逻辑回归模型 在二分类上 进行训练和预测
## 为了正确评估模型性能，将数据划分为训练集和测试集，并在训练集上训练模型，在测试集上验证模型性能。from sklearn.model_selection import train_test_split## 选择其类别为0和1的样本 （不包括类别为2的样本）iris_features_part = iris_features.iloc[:100]iris_target_part = iris_target[:100]## 测试集大小为20%， 80%/20%分x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(iris_features_part, iris_target_part, test_size = 0.2, random_state = )
API介绍：
sklearn.model_selection.train_test_split
## 从sklearn中导入逻辑回归模型from sklearn.linear_model import LogisticRegression
## 定义 逻辑回归模型 clf = LogisticRegression(random_state=0, solver='lbfgs')
优化算法：
L-BFGS算法——一种拟牛顿法
# 在训练集上训练逻辑回归模型clf.fit(x_train, y_train)
输出：
## 查看其对应的wprint('the weight of Logistic Regression:',clf.coef_)## 查看其对应的w0print('the intercept(w0) of Logistic Regression:',clf.intercept_)
the weight of Logistic Regression: [[ 0.45181973 -0.81743611 2.14470304 0.89838607]]
the intercept(w0) of Logistic Regression: [-6.53367714]
## 在训练集和测试集上分布利用训练好的模型进行预测train_predict = clf.predict(x_train)test_predict = clf.predict(x_test)
from sklearn import metrics## 利用accuracy（准确度）【预测正确的样本数目占总预测样本数目的比例】评估模型效果print('The accuracy of the Logistic Regression is:',metrics.accuracy_score(y_train,train_predict))print('The accuracy of the Logistic Regression is:',metrics.accuracy_score(y_test,test_predict))## 查看混淆矩阵 (预测值和真实值的各类情况统计矩阵)confusion_matrix_result = metrics.confusion_matrix(test_predict,y_test)print('The confusion matrix result:\n',confusion_matrix_result)# 利用热力图对于结果进行可视化plt.figure(figsize=(8, 6))sns.heatmap(confusion_matrix_result, annot=True, cmap='Blues')plt.xlabel('Predicted labels')plt.ylabel('True labels')plt.show()
分类模型评价指标：
accuracy、混淆矩阵
输出：
我们可以发现其准确度为1，代表所有的样本都预测正确了。
Step6:利用 逻辑回归模型 在三分类(多分类)上 进行训练和预测
## 测试集大小为20%， 80%/20%分x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(iris_features, iris_target, test_size = 0.2, random_state = )
## 定义 逻辑回归模型 clf = LogisticRegression(random_state=0, solver='lbfgs')
# 在训练集上训练逻辑回归模型clf.fit(x_train, y_train)
## 查看其对应的wprint('the weight of Logistic Regression:\n',clf.coef_)## 查看其对应的w0print('the intercept(w0) of Logistic Regression:\n',clf.intercept_)## 由于这个是3分类，所有我们这里得到了三个逻辑回归模型的参数，其三个逻辑回归组合起来即可实现三分类。
输出：
the weight of Logistic Regression:
[[-0.45928925 0.83069886 -2.26606531 -0.9974398 ]
[ 0.33117319 -0.72863423 -0.06841147 -0.9871103 ]
[ 0.12811606 -0.10206463 2.33447679 1.9845501 ]]
the intercept(w0) of Logistic Regression:
[ 9.43880677 3.93047364 -13.36928041]
## 在训练集和测试集上分布利用训练好的模型进行预测train_predict = clf.predict(x_train)test_predict = clf.predict(x_test)## 由于逻辑回归模型是概率预测模型（前文介绍的 p = p(y=1|x,\theta)）,所有我们可以利用 predict_proba 函数预测其概率train_predict_proba = clf.predict_proba(x_train)test_predict_proba = clf.predict_proba(x_test)print('The test predict Probability of each class:\n',test_predict_proba)## 其中第一列代表预测为0类的概率，第二列代表预测为1类的概率，第三列代表预测为2类的概率。## 利用accuracy（准确度）【预测正确的样本数目占总预测样本数目的比例】评估模型效果print('The accuracy of the Logistic Regression is:',metrics.accuracy_score(y_train,train_predict))print('The accuracy of the Logistic Regression is:',metrics.accuracy_score(y_test,test_predict))
The test predict Probability of each class:
[[1.03461734e-05 2.33279475e-02 9.76661706e-01]
[9.69926591e-01 3.00732875e-02 1.21676996e-07]
[2.09992547e-02 8.69156617e-01 1.09844128e-01]
[3.61934870e-03 7.91979966e-01 2.04400685e-01]
[7.90943202e-03 8.00605300e-01 1.91485268e-01]
[7.30034960e-04 6.60508053e-01 3.38761912e-01]
[1.68614209e-04 1.86322045e-01 8.13509341e-01]
[1.06915332e-01 8.90815532e-01 2.26913667e-03]
[9.46928070e-01 5.30707294e-02 1.20016057e-06]
[9.62346385e-01 3.76532233e-02 3.91897289e-07]
[1.19533384e-04 1.38823468e-01 8.61056998e-01]
[8.78881883e-03 6.97207361e-01 2.94003820e-01]
[9.73938143e-01 2.60617346e-02 1.22613836e-07]
[1.78434056e-03 4.79518177e-01 5.18697482e-01]
[5.56924342e-04 2.46776841e-01 7.52666235e-01]
[9.83549842e-01 1.64500670e-02 9.13617258e-08]
[1.6577e-02 9.54672749e-01 2.88071038e-02]
[8.99853708e-03 7.82707576e-01 2.08293887e-01]
[2.98015025e-05 5.45900066e-02 9.45380192e-01]
[9.35695863e-01 6.43039513e-02 1.85301359e-07]
[9.80621190e-01 1.93787400e-02 7.00125246e-08]
[1.68478815e-04 3.30167226e-01 6.69664295e-01]
[3.54046163e-03 4.02267805e-01 5.94191734e-01]
[9.70617284e-01 2.93824740e-02 2.42443967e-07]
[2.56895205e-04 1.54631583e-01 8.45111522e-01]
[3.48668490e-02 9.11966141e-01 5.31670105e-02]
[1.47218847e-02 6.84038115e-01 3.01240001e-01]
[9.46510447e-04 4.28641987e-01 5.70411503e-01]
[9.64848137e-01 3.51516748e-02 1.87917880e-07]
[9.70436779e-01 2.95624025e-02 8.18591606e-07]]
The accuracy of the Logistic Regression is: 0.9833333333333333
The accuracy of the Logistic Regression is: 0.8666666666666667
## 查看混淆矩阵confusion_matrix_result = metrics.confusion_matrix(test_predict,y_test)print('The confusion matrix result:\n',confusion_matrix_result)# 利用热力图对于结果进行可视化plt.figure(figsize=(8, 6))sns.heatmap(confusion_matrix_result, annot=True, cmap='Blues')plt.xlabel('Predicted labels')plt.ylabel('True labels')plt.show()
通过结果我们可以发现，其在三分类的结果的预测准确度上有所下降，其在测试集上的准确度为:86.67%，这是由于’versicolor’（1）和 ‘virginica’（2）这两个类别的特征，我们从可视化的时候也可以发现，其特征的边界具有一定的模糊性（边界类别混杂，没有明显区分边界），所有在这两类的预测上出现了一定的错误。
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