tag:分治、排序
快速排序的通俗解释
1.从数组中选出一个元素xxx(可以随意选取)
2.把所有<=x<=x<=x的元素放在x前面(形成一个子区间),所有>=x>=x>=x大的元素放在xxx后面(形成另一个子区间)
3.使用递归的方法,对“2”中形成的两个子区间重复执行操作,最终可以得到一个排好序的数组
换句话说,快速排序就是递归的做这样一个事情:把一个区间划分为两个子区间,左区间全都<=<=<=标记数xxx,右区间全都>=>=>=标记数xxx。经过递归调用自身函数,最终得到排序好的数组。
通过下面的gif动图,可以更加形象的理解:
关于快排的递归问题及其分析,可以参考这篇博客:
对快速排序进行尾递归优化
void quick_sort(int q[], int l, int r){if (l >= r)return;//区间里面只有一个数或者没有数int x = q[(l + r) / 2], i = l - 1, j = r + 1;//选择中间数作为标记数while (i < j)//执行一次while语句,可以使一个区间划分为两个区间{do i++;while (q[i] < x);do j--;while (q[j] > x);if (i < j) swap(q[i], q[j]);}quick_sort(q, l, j);quick_sort(q,j+1,r);}
对上述图示与代码的解释与模拟
假设有这样一个数组q
q=[5,4,3,1];
选取中间数4作为分割区间的标记数,在初始时,i,j对应的下标分别是-1和4,如下图所示:
经过一次do while语句之后,i,j分别对应0和3,指向数组第一个和最后一个元素。
为了使前一个区间全都小于标记值4,后一个区间全都大于标记值4,我们使i++,直到i对应的值大于或等于标记值4;使j–,直到j对应的值小于或等于值4,之后进行元素值的交换(swap语句)。
通过这一次while循环,可以使得原先数组的前一半部分全部小于或等于标记值4,后一部分全都大于或等于标记值4。
while (i < j)//每经过一次while循环{do i++;while (q[i] < x);do j--;while (q[j] > x);if (i < j) swap(q[i], q[j]);}
把5和1进行交换:
交换之后得到:
此时i = 0,j = 3,满足i < j,进入下一次while循环:
我们发现此时i指向4,j指向3,交换值,可以得到:
最终经过一次while循环,我们得到了基于标记值4的数组分割:即前面的数字都<=<=<= 4,后面的数字都 >=>=>= 4
最后递归的对这两个小区间进行快速排序,即:
quick_sort(q, l, j);quick_sort(q,j+1,r);
算法复杂度分析
平均时间复杂度:O(nlogn)O(n\log n)O(nlogn)
每进行一次【划分区间】操作,会递归调用处理一半大小的数列。因此,在递归结束前,我们要作O(logn)O(\log n)O(logn)次嵌套的调用,即调用树的深度是O(logn)O(\log n)O(logn)。程序调用的每一层次结构总共全部仅需要O(n)O(n)O(n)的时间。结果是这个算法仅需使用O(nlogn)O(n\log n)O(nlogn)时间。
最差时间复杂度:O(n2)O(n^{2})O(n2)
当数组已经排好序的情况下,快速排序退化为冒泡排序。
每一个区间划分成的两子区间分别含有111 和n−1n-1n−1个元素。第iii 次调用作了O(n−i)O(n-i)O(n−i)的工作量,且
∑i=0n(n−i)=O(n2)\sum _{i=0}^{n}(n-i)=O(n^{2}) i=0∑n(n−i)=O(n2)
递归关系式为:
T(n)=O(n)+T(1)+T(n−1)=O(n)+T(n−1)T(n)=O(n)+T(1)+T(n-1)=O(n)+T(n-1) T(n)=O(n)+T(1)+T(n−1)=O(n)+T(n−1)
这与插入排序与选择排序有相同的关系式,上式被解为T(n)=O(n2)T(n)=O(n^{2})T(n)=O(n2)。
c++代码
#include <vector>#include<iostream>#include<algorithm>using namespace std;const int N = 100010;int n;int q[N];void quick_sort(int q[], int l, int r){if (l >= r)return;//区间里面只有一个数或者没有数int x = q[(l + r) / 2], i = l - 1, j = r + 1;while (i < j)//每经过一次while循环{do i++;while (q[i] < x);do j--;while (q[j] > x);if (i < j) swap(q[i], q[j]);}quick_sort(q, l, j);quick_sort(q,j+1,r);}int main(){cin >> n;for (int i = 0; i < n;i++)cin >> q[i];quick_sort(q, 0, n - 1);for (int i = 0;i < n;i++)cout << q[i]<<" ";return 0;}
运行截图
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