相位噪声函数的非线性最小二乘曲线拟合
摘要：相位噪声是对频率源频率稳定性的表示，对其幂律谱函数进行拟合，在仿真中非常重要，首先介绍线性最小二乘曲线拟合及非线性最小二乘曲线拟合的原理，然后结
合非线性最小二乘曲线拟合函数，对相位噪声幂律谱进行拟合仿真。
关键词：最小二乘拟合；非线性最小二乘拟合；幂律谱函数；
在科学技术的很多领域，物理量之间的关系，往往用函数来描述，有些函数十分简单，可以由经典的理论推导得出其精确的表达式，有些十分复杂，就需要采用曲线拟合方式得出其函数表达式一组实验数据(Xi,Yi)(i=1,2,……,m)出发，通过数值方法，寻找其函数关系表达式Y=F(x),或者是确定函数关系表达式中的某些参数。所寻找到函数曲线，并不
要求通过所有待定点，而是寻求整体近视，整体最优，误差最小。
1 最小二乘曲线拟合原理
1)最小二乘数据拟合的具体作法是：对给定数据(Xi,Yi)(i=1,2,∧m),在取定的函数类Q 中，求p(X)∈Q使误差Ri= p(Xi)-Yi(i=1,2,∧m)的平方和最小从几何意义上讲，就是寻求与给定点(Xi,Yi)(i=1,2,∧m)的距离平方和为最小的曲
线Y= p(X),函数拟合p(X)函数或最小二乘解，求拟合函数的方法称为曲线拟合的最小
二乘法。
2)假设p(X)函数形式已知，但其中的待定参数未知，那么曲线拟合的方法为如下步骤：给定一组m个数据点(t1,y1),∧,(tm,ym).
第一步：选取模型，确定参数化模型，如y=a+bt,并将用它来拟合数据。
第二部：使模型拟合数据，把数据点带入模型，每个数据点产生一个将末知量作为参数的方程，例如在直线方程中的a与b，结果产生方程组Ax=b，在这里末知量表示末知参数。
第三步：求解正规方乘，参数的最小二乘解将作为正规方程组AyAx=Ayb的解而得出。
2 非线性最小二乘曲线拟合
在最小二乘曲线拟合中，假如待定参数，有一个或多个以非线性形式出现，这便是非线性最小二乘曲线拟合。但是非线性最小二乘曲线拟合的参数的初值的选取，在具体问题的应用中是一个难点，
应根据具体问题而定，后面将结合幂律谱函数的曲线拟合，说明这一点。
3 相位噪声的幂律谱函数
相位噪声是一种普遍存在于卫星导航晶体振荡器中的低频噪声，来自相位噪声的测试数据可以提取出大量的有用信息，因此对相位噪声的幂律谱的曲线拟合，就显得十分重要。
相位噪声的幂律谱的数学函数的一般表达式为:
S(f)=a0+a1／f+a2／f2+a3／f3+a4／f4
其中参数(i=1,2,3,4,5)均为非零实数，这些参数根据具体的实测数据，应用数学处理的方法得到。
4 非线性最小二乘法在相位噪声的幂律谱函数拟合中的应用
给定一组离散的数据点(Si，fi)，已知这些数据点是通过对如下所示的信号抽样得到的。
其中参数(i=1,2,3,4,5)均为非零实数。
要求在Matlab中通过曲线拟合的方法，根据给定的数据点(Si，fi)求出参数ai。
在实际问题中，离散数据点(Si，fi)是通过对实际的频谱仪产生的真实图形，采集得到的数据，如下图：
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