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1、1.4 常用的分布及其分位数1. 卡平方分布卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。当X1、X2、Xn相互独立且都服从N(0,1)时，Z= 的分布称为自由度等于n的分布，记作Z(n)，它的分布密度 p(z)=式中的=，称为Gamma函数，且=1， =。分布是非对称分布，具有可加性，即当Y与Z相互独立，且Y(n)，Z(m)，则Y+Z(n+m)。证明: 先令X1、X2、Xn、Xn+1、Xn+2、Xn+m相互独立且都服从N(0,1)，再根据分布的定义以及上述随机变量的相互独立性，令Y=X+X+X，Z=X+X+X，Y+Z= X+X+X+ X+X。
2、+X，即可得到Y+Z(n+m)。2. t分布 若X与Y相互独立，且XN(0,1)，Y(n)，则Z = 的分布称为自由度等于n的t分布，记作Z t (n)，它的分布密度P(z)= 。 请注意：t分布的分布密度也是偶函数，且当n30时，t分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。这时， t分布的分布函数值查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。3. F分布 若X与Y相互独立，且X(n)，Y(m)，则Z=的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于m的F分布，记作ZF (n, m)，它的分布密度 p(z)=请注意：F分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度的次序有关，当ZF (n, m)时。
3、，F (m ,n)。4. t分布与F分布的关系若Xt(n)，则Y=XF(1,n)。证：Xt(n)，X的分布密度p(x)= 。Y=X的分布函数F(y) =PY0时，F(y) =P-=1-F()=的数，双侧分位数是使PX2=1-F(2)=0.5的数2。因为1-F()=，F()=1-，所以上侧分位数就是1-分位数x 1-；F(1)=0.5，1-F(2)=0.5，所以双侧分位数1就是0.5分位数x 0.5，双侧分位数2就是1-0.5分位数x 1-0.5。2)标准正态分布的分位数记作u，0.5分位数记作u 0.5，1-0.5分位数记作u 1-0.5。 当XN(0,1)时，PX u 1-=1- F 0,1。
4、 (u 1-)=，故根据标准正态分布密度曲线的对称性，u=-u 1-。例如，u 0.10=-u 0.90=-1.282，u 0.05=-u 0.95=-1.645，u 0.01=-u 0.99=-2.326，u 0.025=-u 0.975=-1.960，u 0.005=-u 0.995=-2.576。又因为P|X|0，当X(n)时，PX30时，在比较简略的表中查不到t(n)，可用u作为t(n)的近似值。5)F分布的分位数记作F(n , m)。 F(n , m)0，当XF (n , m)时，PX=1-，P1.44。习题答案：1. 2.73，21.0。2. -1.860，1.782。3. ，3.37。4. 1.960为上侧0.025分位数，-1.960与1.960为双侧0.05分位数。5. 2.132为上侧0.05分位数，-2.132与2.132为双侧0.1分位数。6. 0.711为上侧0.95分位数，9.49为上侧0.05分位数，0.711与19.49为双侧0.1分位数。7. 9.01为上侧0.05分位数，5.41为上侧0.05分位数，与5.41为双侧0.1分位数，与9.01为双侧0.1分位数。8. 0.1。113。
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