四.Integrate模块
1.接受函数的积分函数
(1)定积分:
求定积分:[<y>,<abserr>,<infodict>,<message>,<explain>=]scipy.integrate.quad(<func>,<a>,<b>[,args=(),full_output=0,epsabs=1.49e-08,epsrel=1.49e-08,limit=50,points=None,weight=None,wvar=None,wopts=None,maxp1=50,limlst=50])#通过Fortran库QUADPACK中的技术实现#参数说明:func:指定被积函数;为function/scipy.LowLevelCallablea,b:分别指定积分下/上限;为float(包括np.inf)#会被作为第1个参数传给<func>args:指定要传递给<func>的其他参数;为tuple(不能是list)/参数full_output:指定是否返回额外信息;为int#为True时还会返回<infodict>epsabs,epsrel:分别指定能容忍的最大绝对/相对误差;为float/int#目标是达到:abs(i-<y>)<=max(epsabs,epsrel*abs(i)),其中i是实际的积分值limit:指定自适应算法中使用的最大子区间数;为float/intpoints:指定函数的间断点(无需排序);为sequencey:返回积分结果;为floatabserr:返回绝对误差的估计值;为floatinfodict:返回更多相关信息;为dict#仅当full_output=True时被返回#实例:>>> def f(x):...return x+1...>>> integrate.quad(f,1,2)(2.5, 2.7755575615628914e-14)>>> def ff(x,y):...return x+y...>>> integrate.quad(ff,1,2,args=0)(1.5, 1.6653345369377348e-14)######################################################################################################################求向量值函数的定积分:[<res>,<err>,<info>=]scipy.integrate.quad_vec(<f>,<a>,<b>[,epsabs=1e-200,epsrel=1e-08,norm='2',cache_size=100000000.0,limit=10000,workers=1,points=None,quadrature=None,full_output=False])#参数说明:其他参数同scipy.integrate.quad()f:指定被积函数;为callablenorm:指定用于误差估计的向量范数(Vector Norm);为"max"/"2"cache_size:指定缓存大小(单位为B);为intworkers:指定多进程;为int/map-like callablequadrature:指定子区间上的积分求法;为"gk21"/"gk15"/"trapezoid",默认为"gk21"(有限区间)/"gk15"(无限区间)full_output:指定是否返回额外信息;为bool#为True时还会返回<info>res:返回积分结果;为float/array-likeerr:返回误差估计;为floatinfo:返回更多相关信息;为dict#仅当full_output=True时被返回#实例:>>> res,err,info=integrate.quad_vec(f,1,2,full_output=True)>>> resarray([0. , 2.25, 4.5 ])>>> err1.675710553441909e-13>>> info_Bunch(neval=63, success=True, status=0, message='Target precision reached.', intervals=array([[1.5, 2. ],[1. , 1.5]]), integrals=array([[0. , 1.3125, 2.625 ],[0. , 0.9375, 1.875 ]]), errors=array([3.25832608e-14, 2.32737577e-14]))######################################################################################################################求定积分:[<val>,None=]scipy.integrate.fixed_quad(<func>,<a>,<b>[,args=(),n=5])#通过"固定阶数的高斯求积公式"(Fixed-Order Gaussian Quadrature)实现#参数说明:<a>/<b>同scipy.integrate.quad()func:指定被积函数;为callableargs:指定要传递给<func>的其他参数;为array-liken:指定高斯求积公式的阶数(使用n+1个节点);为intval:返回积分结果;为float#实例:>>> integrate.fixed_quad(f,1,2,(1.5,))(1.659002681632464, None)>>> integrate.fixed_quad(f,1,2,(1.5,),n=6)(1.6590026851087492, None)>>> integrate.fixed_quad(f,1,2,(1.5,),n=7)(1.65900268513502, None)>>> integrate.fixed_quad(f,1,2,(1.5,),n=8)(1.6590026851354214, None)>>> integrate.fixed_quad(f,1,2,(1.5,),n=9)(1.65900268513543, None)>>> integrate.fixed_quad(f,1,2,(1.5,),n=10)(1.65900268513543, None)>>> integrate.fixed_quad(f,1,2,(1.5,),n=100)(1.65900268513543, None)######################################################################################################################求定积分:[<val>,<err>=]scipy.integrate.quadrature(<func>,<a>,<b>[,args=(),tol=1.49e-08,rtol=1.49e-08,maxiter=50,vec_func=True,miniter=1])#通过"固定误差容忍度的高斯求积公式"(Fixed-Tolerance Gaussian Quadrature)实现#参数说明:其他参数同scipy.integrate.fixed_quad()func:指定被积函数;为functiontol,rtol:分别指定绝对/相对最低精度改进(停止条件);为float#若精度改进低于此值,则停止maxiter,miniter:指定高斯求积公式的最高/低阶数;为intvec_func:指定是否为向量值函数;为boolerr:返回最后1次的精度改进值;为float######################################################################################################################求定积分:[<results>=]scipy.integrate.romberg(<function>,<a>,<b>[,args=(),tol=1.48e-08,rtol=1.48e-08,show=False,divmax=10,vec_func=False])#通过"龙贝格求积公式"(Romberg Integration)实现#参数说明:其他参数同scipy.integrate.quadrature()function:同scipy.integrate.fixed_quad()的<func>show:是否输出积分过程;为booldivmax:指定最大外推阶数;为intresults:返回积分结果;为float#实例:>>> results=integrate.romberg(lambda x:x**x,1,2)>>> results2.0504462345347854>>> results=integrate.romberg(lambda x:x**x,1,2,show=True)Romberg integration of <function vectorize1.<locals>.vfunc at 0x00000239F659F940> from [1, 2]Steps StepSize Results1 1.000000 2.5000002 0.500000 2.168559 2.0580784 0.250000 2.080374 2.050979 2.0505068 0.125000 2.057954 2.050481 2.050447 2.05044616 0.062500 2.052325 2.050448 2.050446 2.050446 2.05044632 0.031250 2.050916 2.050446 2.050446 2.050446 2.050446 2.050446The final result is 2.0504462345347854 after 33 function evaluations.>>> results2.0504462345347854######################################################################################################################求牛顿-科茨积分公式所需的权重:[<an>,<B>=]scipy.integrate.newton_cotes(<rn>[,equal=0])#通过"牛顿-科茨积分公式"(Newton-Cotes Integration)实现#Normally,the Newton-Cotes rules are used on smaller integration regions and a composite rule is used to return the total integral#参数说明:rn:指定牛顿-科茨积分公式的阶数(使用n+1个节点);为intequal:指定是否等分积分区间;为int(1表示强制等分)an:返回权重;为1×(<rn>+1) ndarrayB:返回误差系数;为float#实例:>>> def f(x):...return np.sin(x)...>>> a=0>>> b=np.pi>>> exact=2>>> N=6>>> x=np.linspace(a,b,N+1)>>> an,B=integrate.newton_cotes(N,1)>>> anarray([0.29285714, 1.54285714, 0.19285714, 1.94285714, 0.19285714,1.54285714, 0.29285714])>>> B-0.0064285714285714285>>> dx=(b-a)/N>>> quad=dx*np.sum(an*f(x))>>> error=abs(quad-exact)>>> quad2.000017813636656>>> error1.7813636655983345e-05
(2)多重积分:
求二重积分:[<y>,<abserr>=]scipy.integrate.dblquad(<func>,<a>,<b>,<gfun>,<hfun>[,args=(),epsabs=1.49e-08,epsrel=1.49e-08])#参数说明:args同scipy.integrate.fixed_quad(),epsabs/epsrel同scipy.integrate.quad()func:指定被积函数;为callable,格式为<func>(<y>,<x>,*args,**kwargs)a,b:分别指定<x>的积分下/上限;为floatgfun,hfun:分别指定<y>的积分下/上限;为callable(接受1个参数)/floaty:返回积分结果;为floatabserr:返回误差估计;为float#实例:>>> def fff(y,x,a):...return a*x*y...>>> integrate.dblquad(fff,1,2,3,4,args=(3,))#注意:写成(3)会被作为int传入(15.749999999999998, 2.328937054972335e-13)######################################################################################################################求三重积分:[<y>,<abserr>=]scipy.integrate.tplquad(<func>,<a>,<b>,<gfun>,<hfun>,<qfun>,<rfun>[,args=(),epsabs=1.49e-08,epsrel=1.49e-08])#参数说明:其他参数同scipy.integrate.dblquad()func:格式为<func>(<z>,<y>,<x>,*args,**kwargs),其他同scipy.integrate.dblquad()qfun,rfun:分别指定<z>的积分下/上限;为function(接受2个参数)/float######################################################################################################################求n重积分:[<result>,<abserr>,<out_dict>=]scipy.integrate.nquad(<func>,<ranges>[,args=None,opts=None,full_output=False])#是通过包装scipy.integrate.quad()实现的#参数说明:full_output同scipy.integrate.quad_vec()func:指定被积函数;为callable(格式为<func>(<x0>...<xn>,*args,**kwargs))/scipy.LowLevelCallableranges:指定各变量的积分下/上限;为iterable,元素为(<a>,<b>)/callableargs:指定要传递给<func>的其他参数;为iterableopts:指定要传递给scipy.integrate.quad()的其他参数;为iterable/dictresult:返回积分结果;为floatabserr:返回绝对误差估计;为floatout_dict:返回更多相关信息;为dict#仅当full_output=True时被返回#实例:>>> def fff(y,x,a):...return a*x*y...>>> integrate.nquad(fff,((1,2),(3,4)),(1,))(5.25, 6.65772550234e-14)>>> integrate.nquad(fff,((1,2),(3,4)),(1,),full_output=True)(5.25, 6.65772550234e-14, {'neval': 441})
(3)帮助函数:
输出有关scipy.integrate.quad()的额外信息:None=scipy.integrate.quad_explain([output=<_io.TextIOWrapper name='<stdout>' mode='w' encoding='utf-8'>])#参数说明:output:指定输出位置;为instance with "write" method(如file handle),默认为sys.stdout#实例:>>> f=open("E://1.txt",mode="w")>>> integrate.quad_explain(f)>>> f.close()
2.接受样本的积分函数:
scipy.integrate.trapezoid(<y>[,x=None,dx=1.0,axis=-1])scipy.integrate.cumulative_trapezoid(<y>[,x=None,dx=1.0,axis=-1,initial=None])scipy.integrate.simpson(<y>[,x=None,dx=1,axis=-1,even="avg"])scipy.integrate.romb(<y>[,dx=1.0,axis=-1,show=False])
3.求解微分方程
(1)求解初值问题:
#以下是函数:scipy.integrate.solve_ivp(<fun>,<t_span>,<y0>[,method="RK45",t_eval=None,dense_output=False,events=None,vectorized=False,args=None,**options])#旧的接口:scipy.integrate.odeint(<func>,<y0>,<t>[,args=(),Dfun=None,col_deriv=0,full_output=0,ml=None,mu=None,rtol=None,atol=None,tcrit=None,h0=0.0,hmax=0.0,hmin=0.0,ixpr=0,mxstep=0,mxhnil=0,mxordn=12,mxords=5,printmessg=0,tfirst=False])#############################################################################################################################################################################################################################################以下都是类:class scipy.integrate.RK23(<fun>,<t0>,<y0>,<t_bound>[,max_step=inf,rtol=0.001,atol=1e-06,vectorized=False,first_step=None,**extraneous])class scipy.integrate.RK45(<fun>,<t0>,<y0>,<t_bound>[,max_step=inf,rtol=0.001,atol=1e-06,vectorized=False,first_step=None,**extraneous])class scipy.integrate.DOP853(<fun>,<t0>,<y0>,<t_bound>[,max_step=inf,rtol=0.001,atol=1e-06,vectorized=False,first_step=None,**extraneous])class scipy.integrate.Radau(<fun>,<t0>,<y0>,<t_bound>[,max_step=inf,rtol=0.001,atol=1e-06,jac=None,jac_sparsity=None,vectorized=False,first_step=None,**extraneous])class scipy.integrate.BDF(<fun>,<t0>,<y0>,<t_bound>[,max_step=inf,rtol=0.001,atol=1e-06,jac=None,jac_sparsity=None,vectorized=False,first_step=None,**extraneous])class scipy.integrate.LSODA(<fun>,<t0>,<y0>,<t_bound>[,first_step=None,min_step=0.0,max_step=inf,rtol=0.001,atol=1e-06,jac=None,lband=None,uband=None,vectorized=False,**extraneous])class scipy.integrate.OdeSolver(<fun>,<t0>,<y0>,<t_bound>,<vectorized>[,support_complex=False])class scipy.integrate.DenseOutput(<t_old>,<t>)class scipy.integrate.OdeSolution(<ts>,<interpolants>)#旧的接口:class scipy.integrate.ode(<f>[,jac=None])class plex_ode(<f>[,jac=None])
(2)求解边值问题:
scipy.integrate.solve_bvp(<fun>,<bc>,<x>,<y>[,p=None,S=None,fun_jac=None,bc_jac=None,tol=0.001,max_nodes=1000,verbose=0,bc_tol=None])
五.Interpolate
1.1维插值:
进行1维插值:<f>=class scipy.interpolate.interp1d(<x>,<y>[,kind='linear',axis=-1,copy=True,bounds_error=None,fill_value=nan,assume_sorted=False])#参数说明:x:指定样本的x值;为1×Ni array-likey:指定样本的y值;为N1×...×Ni×...×Nn array-likekind:指定插值方法;为str/int(指定样条插值的阶数)#str可为"linear"/"nearest"/"nearest-up"/"zero"/"slinear"/"quadratic"/"cubic"/"previous"/"next"/"zero"/"slinear"/"quadratic"/"cubic"axis:指定沿<y>的哪个轴进行插值;为int#<y>沿该轴的长度应等于<x>的长度copy:指定是否在类内创建<x>/<y>的副本;为boolbounds_error:指定是否禁止外插;为bool,默认为False除非fill_value="extrapolate"#为True时,外插时会报错;为False时,外插得到的值由fill_value指定fill_value:指定外插时得到的值;为float(直接指定值)/array-like(直接指定值)/(array-like,array_like)(分类指定值)/"extrapolate"(进行外推)#详情参见官方文档:/doc/scipy/reference/generated/scipy.interpolate.interp1d.html#scipy.interpolate.interp1dassume_sorted:指定<x>是否为递增序列;为bool#为False时,<x>可为任意顺序,并会先被排序;为True时,<x>应为单调递增序列f:返回插值函数;为scipy.interpolate.interpolate.interp1d object#然后通过<f>(<x>)即可得到其他x值对应的y值,x为array-like#实例:>>> scipy.interpolate.interp1d([1,2,3],[4,5,6])([1.1,2.2])array([4.1, 5.2])##################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################################
2.多元插值:
进行2元插值:<yi>=class scipy.interpolate.griddata(<points>,<values>,<xi>[,method='linear',fill_value=nan,rescale=False])#参数说明:points:指定样本点的位置;为N×k array-like(每行为1个点)values:指定样本点处的函数值;为1×N array-likemethod:指定插值方法;为"linear"/"nearest"/"cubic"fill_value:指定外插时得到的值;为float#method="nearest"时无效rescale:指定是否对输入的数据进行归一化(Min-Max Normalization);为bool#原文为:Rescale points to unit cube before performing interpolation#当各维度数据的单位不可比或数据的值存在极大差异时很有用xi:指定要插值的点;为M×k array-like(每行为1个点)yi:返回要插值的点处的插值函数值;为1×M ndarray
3.样条插值
(1)1维样条插值:
(2)2维样条插值:
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