2.1 对称矩阵与反对称矩阵

对称矩阵AAA是一个其元素aija_{ij}aij​关于主对角线对称的实正方矩阵，即有：

AT=A或aij=aji(2.1.1)\quad A^T=A \quad或\quad a_{ij}=a_{ji}\quad\quad\quad\quad (2.1.1)AT=A或aij​=aji​(2.1.1)

对称矩阵具有以下性质，若AAA和BBB都是对称矩阵，则AT=AA^T=AAT=A，且A−1,AmA^{-1},A^mA−1,Am（m为正整数）和A+BA+BA+B仍是对称矩阵。

满足条件AT=−AA^T=-AAT=−A的正方矩阵称为反对称矩阵。显然，为满足反对称性，主对角线上的元素必定等于零，即反对称矩阵的元素具有形式：

aij={0i=j−ajii≠j(2.1.2)\quad a_{ij} = \begin{cases} 0 &\text{ } i=j \\ -a_{ji} &\text{ } i\ne j \end{cases}\quad\quad\quad\quad (2.1.2)aij​={0−aji​​i=ji​=j​(2.1.2)

反对称矩阵具有以下性质：

若AAA和BBB都是反对称矩阵，则A−1A^{-1}A−1，A+BA+BA+B仍是反对称矩阵，而且AkA^kAk为对称矩阵（k为偶数时）或反对称矩阵（k为奇数时）任意正方矩阵AAA都可以分解为一个对称矩阵12(A+AT){1\over2}(A+A^T)21​(A+AT)和一个反对称矩阵12(A−AT){1\over2}(A-A^T)21​(A−AT)之和

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