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【数理统计】参数估计及相关（点估计矩估计法最大似然估计原点矩中心距）

时间：2019-12-04 07:09:07

1 基础知识

1.1 常见分布的期望和方差

1.2 对数运算法则

log⁡a(MN)=log⁡aM+log⁡aNlog⁡a(M/N)=log⁡aM−log⁡aNlog⁡a(1/N)=−log⁡aNlog⁡aMn=nlog⁡aM\log _{a}(M N)=\log _{a} M+\log _{a} N \\ \log _{a}(M / N)=\log _{a} M-\log _{a} N \\ \log _{a}(1 / N)=-\log _{a} N \\ \log _{a} M^{n}=n \log _{a} M loga(MN)=logaM+logaNloga(M/N)=logaM−logaNloga(1/N)=−logaNlogaMn=nlogaM

1.3 矩

参考第三篇链接文章，内含具体示例，值得一看！

2 点估计与矩估计

起初，我以为点估计和矩估计可能是相对的概念，其实矩估计方法是点估计中的一种，其原理就是构造样本和总体的矩，然后用样本的矩去估计总体的矩。

2.1 什么是点估计？

设总体X的分布函数的形式已知，但它的一个或多个参数未知，借助于总体的一个样本来估计总体未知参数的值的问题称为参数的点估计问题。

2.2 矩估计法

设 X 是一随机变量，若 E(Xk)E\left(X^{k}\right)E(Xk)存在，则称它为 X 的 k 阶原点矩，简称 k 阶矩。

我们称 Ak=1n∑i=1nXikA_{k}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}^{k}Ak=n1∑i=1nXik为样本 k 阶矩。样本 k 阶矩 A_{k} 是 k 阶总体矩 μk=E(Xk)\mu_{k}=E\left(X^{k}\right)μk=E(Xk) 的无偏估计量。这也正是矩估计法的原理。

设 X 为连续型随机变量，概率密度为f(x;θ1,⋯,θk)f\left(x ; \theta_{1}, \cdots, \theta_{k}\right)f(x;θ1,⋯,θk); 或 X 为离散型随机变量，其分布律为P{X=x}=p(x;θ1,⋯,θk)P\{X=x\}=p\left(x ; \theta_{1}, \cdots, \theta_{k}\right)P{X=x}=p(x;θ1,⋯,θk)。 θ1,⋯,θk\theta_{1}, \cdots, \theta_{k}θ1,⋯,θk 为待估参数， X1,⋯,XnX_{1}, \cdots, X_{n}X1,⋯,Xn 是来自 X 的样本。假设总体 X 的前 k 阶矩为:

μl=E(Xl)=∫−∞∞xlf(x;θ1,⋯,θk)dx(连续型)\mu_{l}=E\left(X^{l}\right)=\int_{-\infty}^{\infty} x^{l} f\left(x ; \theta_{1}, \cdots, \theta_{k}\right) d x \quad(\text { 连续型 })μl=E(Xl)=∫−∞∞xlf(x;θ1,⋯,θk)dx(连续型)

或

μl=E(Xl)=∑xlp(x;θ1,⋯,θk)(离散型)\mu_{l}=E\left(X^{l}\right)=\sum x^{l} p\left(x ; \theta_{1}, \cdots, \theta_{k}\right) \quad(\text { 离散型 })μl=E(Xl)=∑xlp(x;θ1,⋯,θk)(离散型)

通过式子可以看出，前 k 阶矩是对于 θ1,⋯,θ\theta_{1}, \cdots, \thetaθ1,⋯,θ 的函数。而样本 k 阶矩是 k 阶矩的无偏估计，故我们可以得到思路：

假设我们有 k 个待估参数，连立1阶矩、2阶矩、直到 k 阶矩，我们就得到了 k 个方程， k 个末知量 (待估参数) ;解得每个待估参数，接着用样本 k 阶矩替换 k 阶矩即完成估计。

例题