kmp算法完成的任务是:给定两个字符串O和f,长度分别为n和 m,判断f是否在O中出现,如果出现则返回出现的位置。常规方法是遍历O的每一个位置,然后从该位置开始和f进行匹配,但是这种方法的复杂度是 O(nm)。kmp算法通过一个O(m)的预处理,使匹配的复杂度降为O(n+m)。
kmp算法思想:
在字符串O中寻 找f,当匹配到位置i时两个字符串不相等,这时我们需要将字符串f向前移动。常规方法是每次向前移动一位,但是它没有考虑前i-1位已经比较过这个事实, 所以效率不高。事实上,如果我们提前计算某些信息,就有可能一次前移多位。假设我们根据已经获得的信息知道可以前移k位,我们分析移位前后的f有什么特点。我们可以得到如下的结论:
1.A段字符串是f的一个前缀
2. B段字符串是f的一个后缀
3.A段字符串和B段字符串相等
所以前移k位之后,可以继续比较位置i的前提是f的前i-1个位置满足:长度为i-k-1的前缀A和后缀B相同。只有这样,我们才可以前移k位后从新的位置继续比较。
所以kmp算法的核心即是计算字符串f每一个位置之前的字 符串的前缀和后缀公共部分的最大长度(不包括字符串本身,否则最大长度始终是字符串本身)。获得f每一个位置的最大公共长度之后,就可以利用该最大公共长 度快速和字符串O比较。当每次比较到两个字符串的字符不同时,我们就可以根据最大公共长度将字符串f向前移动(已匹配长度-最大公共长度)位,接着继续比 较下一个位置。事实上,字符串f的前移只是概念上的前移,只要我们在比较的时候从最大公共长度之后比较f和O即可达到字符串f前移的目的。
next数组计算
理解了kmp算法的基本原理,下一步就是要获得字符串f每一个位置的最大公共长度。这个最大公共长度在算法导论里面被记为next数组。在这里要注意一点, next 数组表示的是长度,下标从 1 开始;但是在遍历原字符串时,下标还是从 0 开始。假设我们现在已经求得next[1]、next[2]、……next[i],分别表示长度为1到i的字符串的前缀和后缀最大公共长度,现在要求next[i+1]。由上图我们可以看到,如果位置i和位置next[i]处的两个字符相同(下标从零开始), 则next[i+1]等于next[i]加1。如果两个位置的字符不相同,我们可以将长度为next[i]的字符串继续分割,获得其最大公共长度 next[next[i]],然后再和位置i的字符比较。这是因为长度为next[i]前缀和后缀都可以分割成上部的构造,如果位置 next[next[i]]和位置i的字符相同,则next[i+1]就等于next[next[i]]加1。如果不相等,就可以继续分割长度为 next[next[i]]的字符串,直到字符串长度为0为止。
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