为计算两个正态总体均值差μ1−μ2\mu_1-\mu_2μ1−μ2在指定置信度下的双侧置信区间，涉及样本均值x‾\overline{x}x，y‾\overline{y}y，总体方差σ12\sigma_1^2σ12，σ22\sigma_2^2σ22（或样本方差s22s_2^2s22，s22s_2^2s22），样本容量n1n_1n1，n2n_2n2和置信水平1−α1-\alpha1−α。算法为
计算样本均值差x‾−y‾\overline{x}-\overline{y}x−y；计算枢轴量服从的分布以置信度1−α1-\alpha1−α为概率的双侧分位点aaa和bbb；计算增量因子ddd。若已知总体方差为σ12n1+σ22n2\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}n1σ12+n2σ22，否则为sw1n1+1n2s_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}swn11+n21，其中sw=(n1−1)s12+(n2−1)s22n1+n2−2s_w=\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}sw=n1+n2−2(n1−1)s12+(n2−1)s22；计算置信下限(x‾−y‾)−a⋅d(\overline{x}-\overline{y})-a\cdot d(x−y)−a⋅d和置信上限(x‾−y‾)+a⋅d(\overline{x}-\overline{y})+a\cdot d(x−y)+a⋅d。
将此算法与博文《单个正态总体均值的双侧区间估计》中计算单个正态总体均值μ\muμ的双侧置信区间算法相比，可知两者的不同点就在于单总体的样本均值x‾\overline{x}x变成双总体样本均值的差x‾−y‾\overline{x}-\overline{y}x−y，置信区间增量因子ddd由σ2n\sqrt{\frac{\sigma^2}{n}}nσ2，或s2n\sqrt{\frac{s^2}{n}}ns2变成σ12n1+σ22n2\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}n1σ12+n2σ22（已知总体方差），或sw1n1+1n2s_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}swn11+n21（未知总体方差）。其他都一致。所以，我们可以通过调用博文《单个正态总体均值的双侧区间估计》中定义的muBounds函数，传递合适的参数来计算双正态总体均值差的置信区间。
例1为比较I，II两种型号步枪子弹的枪口速度，随机地取I型子弹10发，得到枪口速度的平均值x‾=500m/s\overline{x}=500m/sx=500m/s，标准差s1=1.10m/ss_1=1.10m/ss1=1.10m/s。随机地取II型子弹20发，得到枪口速度的平均值为y‾=496m/s\overline{y}=496m/sy=496m/s，标准差s2=1.20m/ss_2=1.20m/ss2=1.20m/s。假设两个总体都服从正态分布，且有生产过程可认为方差相等。计算两个总体的均值差μ1−μ2\mu_1-\mu_2μ1−μ2的置信水平为0.95的置信区间。
解：下列代码完成本例计算。
import numpy as np#导入numpyxmean=500 #样本均值1ymean=496 #样本均值2mean=xmean-ymean#样本均值差s1=1.10**2 #样本方差1s2=1.20**2 #样本方差2n1=10 #样本容量1n2=20 #样本容量2sw=np.sqrt(((n1-1)*s1+(n2-1)*s2)/(n1+n2-2)) #swd=sw*np.sqrt(1/n1+1/n2) #置信区间增量因子confidence=0.95 #置信度a, b=muBounds(mean, d, confidence, n1+n2-2) #计算置信区间print('(%.4f, %.4f)'%(a, b))
由于本例计算的是未知两个总体方差（虽未知其值，但知相等）前提下，均值差的置信区间，故第12行调用muBounds函数时，传递给参数df的值为ttt分布的自由度n1+n2−2n_1+n_2-2n1+n2−2。运行程序，输出
(3.0727, 4.9273)
由于置信下限3.07>03.07>03.07>0，可认为以0.95的置信水平，μ1>μ2\mu_1>\mu_2μ1>μ2，即I类子弹的枪口速度均值显著大于II类子弹的枪口速度均值。
例2为提高某一化学生产过程的得率，试图采用一种新的催化剂。为慎重起见，在实验工厂先进行试验。设采用原来的催化剂进行了n1=8n_1=8n1=8次试验，得到得率的平均值x‾=91.73\overline{x}=91.73x=91.73，样本方差s12=3.89s_1^2=3.89s12=3.89；采用新的催化剂进行了n2=8n_2=8n2=8次试验，得到得率平均值y‾=93.75\overline{y}=93.75y=93.75，样本方差s22=4.02s_2^2=4.02s22=4.02。假设两个总体都可认为服从正态分布，且方差相等，两个样本独立。试计算两总体均值差μ1−μ2\mu_1-\mu_2μ1−μ2的置信水平为0.95的置信区间。
解：下列代码完成本例计算。
import numpy as np#导入numpyxmean=91.73#样本均值1ymean=93.75#样本均值2mean=xmean-ymean#样本均值差s1=3.89#样本方差1s2=4.02#样本方差2n1=8#样本容量1n2=8#样本容量2sw=np.sqrt(((n1-1)*s1+(n2-1)*s2)/(n1+n2-2))#swd=sw*np.sqrt(1/n1+1/n2)#置信区间增量因子confidence=0.95#置信水平a, b=muBounds(mean, d, confidence, n1+n2-2)#计算置信区间print('(%.4f, %.4f)'%(a, b))
运行程序，输出
(-4.1527, 0.1127)
由于0∈(−4.1527,0.1127)0\in(-4.1527, 0.1127)0∈(−4.1527,0.1127)，可认为新旧两种催化剂对化学过程的得率均值无显著差别。
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