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【SandQuant 量化投资】哈里·马科维茨：投资组合的选择

时间：2020-11-14 04:14:39

1952年哈里马科维茨发表投资组合选择理论，构建“均值-方差”模型，标志着现代投资组合理论的开端。

文中将投资组合的选择划分为两个阶段，并主要讨论第二阶段：

（1）基于经验和观察对证券未来表现产生预期；

（2）基于预期进行投资组合的选择；

首先假设投资者只考虑预期收益E，在有N个有价证券的情形下，投资者将总是会选择把所有的资金都投入于拥有最大期望收益的证券。因此在该假设下，投资者的投资行为总是单一化的，而无法解释多元化投资组合的优越性。

文中提出一个新的假设：投资者基于“均值-方差”准则进行投资组合的选择(E-V准则)。投资者倾向于更大的期望收益和更小的方差（风险厌恶），即∂U/∂E>0\partial U/\partial E>0∂U/∂E>0，∂U/∂V<0\partial U/\partial V<0∂U/∂V<0，UUU是投资者效用函数。

为简化说明，该文只考察了几个证券的情形，并需满足两个基本条件：

（1）投资者按照E-V准则进行决策；

（2）能够获得合理的预期收益和协方差；

下面考虑3个有价证券的情形，记Xi\small\ X_iXi为证券 iii 的投资比例，Ei\small\ E_iEi为证券 iii 的期望收益，σij\sigma_{ij}σij 为证券 iii 和证券 jjj 的协方差，则投资组合满足以下条件：

{E=∑i=13XiμiV=∑i=13∑j=13XiXjσij∑i=13Xi=1Xi≥0,i=1,2,3\left\{\begin{aligned} &E =\scriptsize\sum\nolimits_{i=1}^3\normalsize X_i\mu_i\\ &V=\scriptsize\sum\nolimits_{i=1}^3\sum\nolimits_{j=1}^3\normalsize X_iX_j\sigma_{ij}\\ &\scriptsize\sum\nolimits_{i=1}^3\normalsize X_i=1\\ &X_i\geq0,i=1,2,3\\ \end{aligned} \right.⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧E=∑i=13XiμiV=∑i=13∑j=13XiXjσij∑i=13Xi=1Xi≥0,i=1,2,3将X3=1−X1−X2\small\ X_3=1-X_1-X_2X3=1−X1−X2代入E\small\ EE和V\small\ VV，可得E\small\ EE和V\small\ VV是关于(X1,X2)\small\ (X_1,X_2)(X1,X2)的函数，且分别代表一组平行线和一组同心椭圆（下图所示）。椭圆中心代表最小方差V\small \ VV的投资组合，记该点为X\small\ XX，其期望收益和方差分别为E0\small\ E_0E0和V0\small\ V_0V0，远离X\small\ XX的投资组合方差将增加。

由于没有比X\small\ XX的方差更小的投资组合，因此X\small\ XX是有效的，而所有E<E0\small\ E<E_0E<E0的组合都是无效的。对于任意给定的E\small\ EE而言，其最小的V\small\ VV是等收益线(isomean)与等方差线(isovariance)的切点。从X\small\ XX出发一直到边界可以得到一条直线l\small\ ll，直线上的组合都是有效的。由于可行域的限制，等方差线超出可行域的范围后，有效集合将落在边界ab\small\ abab上。最终，有效投资组合由直线l\small\ ll 和边界ab\small\ abab 的部分线段构成。

文中还讨论了包含四个证券以及XXX落在可行域外面的情形下，有效投资组合的情况（如下图所示）

相比E准则，E-V准则解释了多元化投资，但这并不意味着该准则拒绝非多元化。在极端情形下，单个证券如果拥有最大的E和最小的V，那么仍然会采取非多元化的投资方式，但大多数情况下，投资组合都是多元化的。

多元化不仅仅依赖于投资的证券数量，由于相同行业内的证券往往表现出相似性，因此包含多个行业的投资组合会优于只包含单个行业的投资组合。