1. PSNR (Peak Signal-to-Noise Ratio) 峰值信噪比
给定一个大小为 \(m×n\) 的干净图像 \(I\) 和噪声图像 \(K\)，均方误差 \((MSE)\) 定义为：
\[MSE = \frac{1}{mn}\sum_{i=0}^{m-1}\sum_{j=0}^{n-1}[I(i, j)-K(i,j)]^2
\]
然后 \(PSNR (dB)\) 就定义为：
\[PSNR = 10 \cdot log_{10}(\frac{MAX_I^2}{MSE})
\]
其中 \(MAX_I^2\) 为图片可能的最大像素值。如果每个像素都由 8 位二进制来表示，那么就为 255。通常，如果像素值由 \(B\) 位二进制来表示，那么 \(MAX_I = 2^B-1\)。
一般地，针对 uint8 数据，最大像素值为 255,；针对浮点型数据，最大像素值为 1。
上面是针对灰度图像的计算方法，如果是彩色图像，通常有三种方法来计算。
分别计算 RGB 三个通道的 PSNR，然后取平均值。
计算 RGB 三通道的 MSE ，然后再除以 3 。
将图片转化为 YCbCr 格式，然后只计算 Y 分量也就是亮度分量的 PSNR。
其中，第二和第三种方法比较常见。
# im1 和 im2 都为灰度图像，uint8 类型
# method 1
diff = im1 - im2
mse = np.mean(np.square(diff))
psnr = 10 * np.log10(255 * 255 / mse)
# method 2
psnr = pare_psnr(im1, im2, 255)
针对超光谱图像，我们需要针对不同波段分别计算 PSNR，然后取平均值，这个指标称为 MPSNR。
2. SSIM (Structural SIMilarity) 结构相似性
\(SSIM\) 公式基于样本 \(x\) 和 \(y\) 之间的三个比较衡量：亮度 (luminance)、对比度 (contrast) 和结构 (structure)。
\[l(x,y) = \frac{2\mu_x \mu_y + c_1}{\mu_x^2+ \mu_y^2 + c_1}
\]
\[c(x,y) = \frac{2\sigma_x \sigma_y + c_2}{\sigma_x^2+ \sigma_y^2 + c_2}
\]
\[s(x,y) = \frac{\sigma_{xy} + c_3}{\sigma_x \sigma_y + c_3}
\]
一般取 \(c_3 = c_2 / 2\)。
\(\mu_x\) 为 \(x\) 的均值
\(\mu_y\) 为 \(y\) 的均值
\(\sigma_x^2\) 为 \(x\) 的方差
\(\sigma_y^2\) 为 \(y\) 的方差
\(\sigma_{xy}\) 为 \(x\) 和 \(y\) 的协方差
\(c_1 = (k_1L)^2, c_2 = (k_2L)^2\) 为两个常数，避免除零
\(L\) 为像素值的范围，\(2^B-1\)
\(k_1=0.01, k_2=0.03\) 为默认值
那么
\[SSIM(x, y) = [l(x,y)^{\alpha} \cdot c(x,y)^{\beta} \cdot s(x,y)^{\gamma}]
\]
将 \(\alpha,\beta,\gamma\) 设为 1，可以得到
\[SSIM(x, y) = \frac{(2\mu_x \mu_y + c_1)(2\sigma_{xy}+c_2)}{(\mu_x^2+ \mu_y^2 + c_1)(\sigma_x^2+\sigma_y^2+c_2)}
\]
每次计算的时候都从图片上取一个 \(N×N\) 的窗口，然后不断滑动窗口进行计算，最后取平均值作为全局的 SSIM。
# im1 和 im2 都为灰度图像，uint8 类型
ssim = pare_ssim(im1, im2, data_range=255)
针对超光谱图像，我们需要针对不同波段分别计算 SSIM，然后取平均值，这个指标称为 MSSIM。
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