一、什么叫先验分布、后验分布、似然估计

这几个概念可以用“原因的可能性”和“结果的可能性”的“先后顺序”及“条件关系”来理解。下面举例：

隔壁老王要去10公里外的一个地方办事，他可以选择走路，骑自行车或者开车，并花费了一定时间到达目的地。在这个事件中，可以把交通方式（走路、骑车或开车）认为是原因，花费的时间认为是结果。

若老王花了一个小时的时间完成了10公里的距离，那么很大可能是骑车过去的，当然也有较小可能老王是个健身达人跑步过去的，或者开车过去但是堵车很严重。若老王一共用了两个小时的时间完成了10公里的距离，那么很有可能他是走路过去的。若老王只用了二十分钟，那么很有可能是开车。这种先知道结果，然后由结果估计原因的概率分布，p(交通方式|时间)，就是后验概率。

老王早上起床的时候觉得精神不错，想锻炼下身体，决定跑步过去；也可能老王想做个文艺青年试试最近流行的共享单车，决定骑车过去；也可能老王想炫个富，决定开车过去。老王的选择与到达目的地的时间无关。先于结果，确定原因的概率分布，p(交通方式)，就是先验概率。

老王决定步行过去，那么很大可能10公里的距离大约需要两个小时；较小可能是老王平时坚持锻炼，跑步过去用了一个小时；更小可能是老王是个猛人，40分钟就到了。老王决定骑车过去，很可能一个小时就能到；较小可能是老王那天精神不错加上单双号限行交通很通畅，40分钟就到了；还有一种较小可能是老王运气很差，连着坏了好几辆共享单车，花了一个半小时才到。老王决定开车过去，很大可能是20分钟就到了，较小可能是那天堵车很严重，磨磨唧唧花了一个小时才到。这种先确定原因，根据原因来估计结果的概率分布，p(时间|交通方式)，就是似然估计。

老王去那个地方好几趟，不管是什么交通方式，得到了一组关于时间的概率分布。这种不考虑原因，只看结果的概率分布，p(时间)，也有一个名词：evidence。

二、贝叶斯估计与最大似然估计

极大似然估计（Maximum Likelihood Estimation，MLE）和贝叶斯估计（Bayesian Estimation）是统计推断中两种最常用的参数估计方法，二者在机器学习中的应用也十分广泛。本文将对这两种估计方法做一个详解。

考虑这样一个问题：总体 的概率密度函数为 ，观测到一组样本 ，需要估计参数 。下面我们将采用不同的估计方法来求解这个问题。

1、极大似然估计

极大似然估计是典型的频率学派观点，它的基本思想是：待估计参数 是客观存在的，只是未知而已，当 满足“ 时，该组观测样本 更容易被观测到“，我们就说 是 的极大似然估计值。也即，估计值 使得事件发生的可能性最大。

下面给出极大似然估计的数学描述：

2、贝叶斯估计

贝叶斯估计是典型的贝叶斯学派观点，它的基本思想是：待估计参数 也是随机的，和一般随机变量没有本质区别，因此只能根据观测样本估计参数 的分布。

贝叶斯估计利用了贝叶斯公式，给出贝叶斯公式的数学描述：

下面给出贝叶斯估计的数学描述：

其中， 为参数 的先验分布（prior distribution），表示对参数 的主观认识，是非样本信息， 为参数 的后验分布（posterior distribution）。因此，贝叶斯估计可以看作是，在假定 服从 的先验分布前提下，根据样本信息去校正先验分布，得到后验分布 。由于后验分布是一个条件分布，通常我们取后验分布的期望作为参数的估计值。

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