数据分析统计学原理第六章：连续型概率分布 | 我的统计学原理复习日记

离散型随机变量和连续型随机变量之间最根本的区别在于，二者在概率计算上是不同的。对一个离散型随机变量，概率函数f（x）给出了随机变量x取某个特定值的概率。而对连续型随机变量，与概率函数相对应的是概率密度函数（ probability density function），也记作f（x）.不同的是，概率密度函数并没有直接给出概率。但是，给定区间上曲线f（x）下的面积是连续型随机变量在该区间取值的概率。因此，当计算连续型随机变量的概率时，我们计算的是随机变量在某个区间内取值的概率。

均匀概率分布（uniform probability distribution）

例子：

用面积度量概率

我们不再讨论随机变量取某一特定值的概率。取而代之，我们讨论随机变量在某一给定区间上取值的概率。

连续型随机变量在某个给定区间[x1，x2]上取值的概率，被定义为在区间[x1，x2]上概率密度函数f（x）曲线下的面积。因为单点是宽度为零的区间，这意味着连续型随机变量取某个特定值的概率为零。这也意味着，无论是否包括端点，连续型随机变量在某个区间上取值的概率是相同的。

连续型均匀概率分布的数学期望和方差

式中，a为随机变量所能取的最小值；b为随机变量所能取的最大值。

正态概率分布（normal probability distribution）

正态分布概率密度函数

我们观察到，正态分布具有下列特征

（1）正态分布族中的每个分布因均值和标准差这两个参数的不同而不同。

（2）正态曲线的最高点在均值处达到，均值还是分布的中位数和众数。

（3）分布的均值可以是任意数值：负数、零或正数。

（4）正态分布是对称的。均值左边的曲线形状是均值右边的曲线形状的镜像。曲线的尾端向两个方向无限延伸，且理论上永远不会与横轴相交。由于正态分布是对称的，从而它不是偏斜的，偏度为0。

（5）标准差决定曲线的宽度和平坦程度。标准差越大则曲线越宽、越平坦，表明数据有更大的变异性。

（6）正态随机变量的概率由正态曲线下的面积给出。正态分布曲线下的总面积是1，由于分布是对称的，曲线下方均值左侧的面积为0.5，曲线下方均值右侧的面积也是0.5。

（7）下面是随机变量在一些常用区间内取值的百分比。

a.正态随机变量有68.3%的值在均值加减一个标准差的范68.3%围内。

b.正态随机变量有95.4%的值在均值加减两个标准差的范围内

c.正态随机变量有99.7%的值在均值加减三个标准差的范围内。

标准正态概率分布（ standard normal probability distribution）

均值为0，方差为1

我们对标准正态分布进行了深入的研究，因为所有正态分布的概率都可利用标准正态分布来计算。也就是说，对于具有任意均值和标准差的正态分布，我们在回答有关的概率问题前，首先应将其转换成标准正态分布，然后再使用标准正态概率表和恰当的z值来计算所需要的概率。

标准化公式

正态分布的概率计算例子：

二项概率的正态近似

当试验次数很大时，笔算或用计算器求解二项概率函数都是很困难的。在np≥5和n(1-p)≥5的情况下，正态分布是对二项分布的一个简便易行的近似。当使用正态分布近似二项分布时，正态曲线中平均值=np和标准差=√(np(1-p))

例子：

在得到平均值和标准差，以及确定了区间后，就可以将正态分布通过标准化转换成标准正态分布，接着通过查表得到区间的概率。

指数概率分布（exponential probability distribution）

指数分布的累计概率

指数分布是右偏的，偏度为2

泊松分布与指数分布的关系

泊松分布描述了每一区间中事件发生的次数，指数分布描述了事件发生的时间间隔长度。

例子：

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