1. 基本指数信号
设
与 为两个基本指数信号，其中 和 分别为连续时间域和离散时间域的角频率。
1.1 连续时间域
连续时间域中，如果满足 ，则 是周期信号，其周期为 ，；角频率 越大，信号的振荡频率越快；当 时， 与 是正交的，且角频率不区分正负。
第1点与第2点很明显；如果能证明现
与 的内积为0，便可证明第3点。 设 为两信号周期的最小公倍数， ， ，则 。两信号的内积为 。
1.2 离散时间域
离散时间域中，如果满足 ， 和 为整数，则当且仅当 ，即 是有理数时， 为周期信号。如果以 为自变量， 是周期信号，即 ， 。随着 变化，根据第2点性质 ，信号不是完全不同的（此处不同于连续时间域），即每隔 会出现相同的信号。
2. 傅里叶变换的实质
为了更方便的展示傅里叶变换如何在信号空间表示，首先以三维信号如何在三维欧几里得空间表示为例，如图1所示。
在三维欧几里得空间中，共有3个两两正交的线，即有3个基，下边介绍在此空间中表示三维信号
的过程。首先，将 分别与三个基进行内积操作，即 ，得到在三个基上的分量；其次，将三个分量在三个基上进行线性叠加，即 ，便得到了向量 在此三维欧几里得空间中的表示。
那么信号
如何在信号空间中表示呢？设信号 是连续非周期信号，其信号空间中的基频是 。在信号空间中，当 时， 与 是正交的，所以在信号空间中有无穷多的基。与欧几里得空间中的操作相同，首先，将信号 与信号空间中的基进行内积操作，即 ；其次，将信号 在各个基上的分量 与对应的基进行线性叠加（线性加权和），即 ，便得到了此信号在信号空间中的表示。上述投影过程，称为Fourier变换，线性加权和称为Fourier逆变换。
3. Dirichlet 条件
一个连续时间域内的非周期信号
如果有傅里叶变换，必须满足Dirichlet条件，即信号 是绝对可积的，即 ；在任意一个有限的区间内必须有有限个极大值和极小值；在任意一个有限的区间内必须有有限个不连续点。
第1点意味着信号的能量必须是有限的；第2点和第3点表示信号要足够光滑。
4. 连续周期信号的傅里叶变换（连续时间傅里叶级数）
设信号
是周期信号，满足 ，其中 为基本（最小）周期，则其基信号为 ，且 。其Fourier变换为 ；逆变换为 。称为信号 为傅里叶级数展开， 为傅里叶级数的系数。
周期信号如果有傅里叶变换，需要满足的Dirichlet条件为
信号 在任意周期内是绝对可积的，即 ；在任意周期内必须有有限个极大值和极小值；在任意周期内必须有有限个不连续点。
5. 离散周期信号的傅里叶变换（离散时间傅里叶级数）
设
为离散周期信号，且满足 ，即 ，这相当于把一个圆分成了N份（可参考虚部表示旋转），所以其基频信号为 。
信号
的Fourier变换可表示为 ，傅立叶逆变换为 。
注意，离散周期信号中不同的频率信号为有限个，连续周期信号不同的频率信号为无限个。
6. 离散非周期信号的傅里叶变换
设
为离散非周期信号，其基信号为 ，则Fourier变换为 ，因 ， 的傅里叶逆变换为 。
7. 小结
7.1 连续信号
周期信号，基信号
；非周期信号，基信号 。
7.2 离散信号
周期信号，基信号
；非周期信号，基信号 。
7.3 例子
设信号
。因计算机只能处理离散数据，所以，这个例子以1024Hz的采样频率对1s中的数据进行采样，获得离散序列 。在python中为
# 设信号周期为1s，采样频率为1024
并对其逆行Fourier变换
# Fourier变换
结果分别如图2和图3所示。完整代码在我的Github中（基于python），建议动手操作一下。
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