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t检验(student t检验)是应用t分布的特征，将t作为检验的统计量来进行统计推断方法。它对样本要求较小(例如n＜30)。
主要用途：
样本均数与总体均数的差异比较两样本均数的差异比较
分类：
单样本t检验独立样本t检验配对样本t检验
单样本t检验
单样本t检验主要用于判断样本均数与总体均数是否存在显著差异。
适用条件
已知一个总体均数已知一个样本均数及该样本标准差样本正态分布或近似正态总体实际应用中，当数据量足够大时，对样本正态分布要求不再严格。只要数据分布不是严重偏态，一般来说单样本t检验都是适用的。
具体计算公式
t=xˉ−μ0s/nt=\frac{\bar{x}-μ_0}{s/\sqrt{n}}t=s/nxˉ−μ0
自由度df=n−1自由度df=n-1自由度df=n−1
其中，xˉ\bar{x}xˉ为样本均数、μ0\mu_0μ0为总体均数，sss为样本标准偏差、nnn为样本数。该统计量t在原假设μ=μ0\mu=\mu_0μ=μ0为真的条件下服从自由度为n−1n-1n−1的t分布。
R语言示例
R语言中可以用t.test函数进行t检验
(虚构)从某小学六年级抽取10名学生，其身高(单位：cm),是否认为该学校六年级平均身高130cm?
10名学生身高：
130,120,130,110,130,135,129,124,130,134
#生成数据x <- c(130,120,130,110,130,135,129,124,130,134)#t检验t.test(x,mu = 130)One Sample t-testdata: xt = -1.1884, df = 9, p-value =0.2651alternative hypothesis: true mean is not equal to 13095 percent confidence interval:121.8702 132.5298sample estimates:mean of x 127.2 #结果显示，P=0.2651＞0.05。在统计学上说明样本均数与总体均数没有差别。
独立样本t检验
独立样本t检验主要检验两个样本均数及其所代表的总体之间差异是否显著。
适用条件
独立性，各观察值之间相关独立正态性，各样本均来自正态分布的总体方差齐性，各样本所在总体的方差相等具体计算公式
方差齐性条件下下sc2=s12(n1−1)+s22(n2−1)n1+n2−2s_c^2=\frac{s_1^2(n_1-1)+s_2^2(n_2-1)}{n_1+n_2-2}sc2=n1+n2−2s12(n1−1)+s22(n2−1)
t=x1ˉ−x2ˉsx1ˉ−x2ˉ=x1ˉ−x2ˉsc2(1/n1+1/n2)t=\frac{\bar{x_1}-\bar{x_2}}{s_{\bar{x_1}-\bar{x_2}}}=\frac{\bar{x_1}-\bar{x_2}}{\sqrt{s_c^2(1/n_1+1/n_2)}}t=sx1ˉ−x2ˉx1ˉ−x2ˉ=sc2(1/n1+1/n2)x1ˉ−x2ˉ
v=(n1−1)+(n2−1)=n1+n2−2v=(n_1-1)+(n_2-1)=n_1+n_2-2v=(n1−1)+(n2−1)=n1+n2−2
其中，vvv为自由度方差不齐条件下
t’=x1ˉ−x2ˉS12n1+S22n2t^{’}=\frac{\bar{x_1}-\bar{x_2}}{\sqrt{{\frac{S_1^2}{n_1}}+{\frac{S_2^2}{n_2}}}}t’=n1S12+n2S22x1ˉ−x2ˉ
v=(S12/n1+S22/n2)2(S12/n1)2n1−1+(S22/n2)2n2−1v=\frac{{(S_1^2/n_1+S_2^2/n_2)^2}}{{\frac{(S_1^2/n_1)^2}{n_1-1}}+{\frac{(S_2^2/n_2)^2}{n_2-1}}}v=n1−1(S12/n1)2+n2−1(S22/n2)2(S12/n1+S22/n2)2
R语言示例
独立样本t检验需要检验其适用条件，主要是指方差齐性，其他条件：样本独立性一般数据可以保障。t检验对样本正态性具有一定耐受性。
方差齐性可以用car包leveneTest函数检验
leveneTest(y=,group =)
其中，y是两组样本组成的数据，group是两组样本的分组情况。
方差齐性检验之后，才可进行独立样本t检验。
用t.test(A,B,var.equal=TRUE，paired=FALSE)
A、B为数据集，var.equal=TRUE为方差齐性。paired=FALSE非配对样本。
示例：
(虚构)有两组学生(每组10人)，一组采用传统教育，一组采用素质教育。一学期后，两组学生语文成绩(满分100)如下。问两组学生成绩之间差别是否显著。
传统组A
85,84,95,73,77,65,85,93,90,91素质组B
87,96,77,80,79,96,93,82,84,86
A <- c(85,84,95,73,77,65,85,93,90,91)B <- c(87,96,77,80,79,96,93,82,84,86)#方差齐性检验#合并数据y <- c(A,B)#数据分组标签group=as.factor(c(rep(1,10),rep(2,10)))#载入car包library(car)#方差齐性检验leveneTest(y=y,group = group)#结果显示，P=0.5505＞0.05。说明方差齐性。Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)Df F value Pr(>F)group 1 0.3703 0.550518 #独立样本t检验t.test(A,B,paired = FALSE)#结果显示P=0.5639。说明两者没有区别。Welch Two Sample t-testdata: A and Bt = -0.589, df = 16.463, p-value = 0.5639alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 095 percent confidence interval:-10.100024 5.700024sample estimates:mean of x mean of y 83.886.0
配对样本t检验
配对样本t检验同样检验两个样本均数及其所代表的总体之间差异是否显著。
独立样本t检验与配对样本t检验同属于双样本t检验，不同点在于配对样本t检验要求两个样本之间存在某些配对关系。
常见配对关系：
同一样本两种不同处理方法的检验结果同一样本前后时间点的检验结果
适用条件
正态性具体计算公式
t=dˉ−0sxˉ=dˉs/nt=\frac{\bar{d}-0}{s_{\bar{x}}}=\frac{\bar{d}}{s/\sqrt{n}}t=sxˉdˉ−0=s/ndˉ
df=n−1(n为配对数目)df=n-1(n为配对数目)df=n−1(n为配对数目)
R语言示例
配对样本t检验用t.test函数完成。
t.test(x,y,paired=TRUE)
其中，x、y为数据，paired=TRUE是配对数据
示例：
有20名女性分为10对，试吃两种药。经过一段时间后，药效如下。问两种药是否有区别
药1
4.4,5,5.8,4.6,4.9,4.8,6,5.9,4.3,5.1
药2
6.2,5.2,5.5,5,4.4,5.4,5,6.4,5.8,6.2
#生成数据drug1 <- c(4.4,5,5.8,4.6,4.9,4.8,6,5.9,4.3,5.1)drug2 <- c(6.2,5.2,5.5,5,4.4,5.4,5,6.4,5.8,6.2)#配对样本t检验t.test(drug1,drug2,paired = TRUE)#结果显示，P=0.1575＞0.05,不能说两者存在显著差别。Paired t-testdata: drug1 and drug2t = -1.5417, df = 9, p-value = 0.1575alternative hypothesis: true difference in means is not equal to 095 percent confidence interval:-1.0609306 0.306sample estimates:mean of the differences -0.43
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