加权最小二乘滤波WLS（weighted least squares）加上双边滤波，引导滤波是三种较为经典的边缘保持性滤波算法，该算法最早见于论文：《Edge-Preserving Decompositions for Multi-Scale Tone and Detail Manipulation》中，原作者项目主页：http://www.cs.huji.ac.il/~danix/epd/，本篇进行总结和测试。

加权最下二乘滤波原理：

作者提出该算法的初衷是，基于双边滤波的算法无法在多尺度上提取到很好的细节信息，并可能出现伪影。加权最小二乘滤波目的即是使得结果图像u与原始图像p经过平滑后尽量相似，但是在边缘部分尽量保持原状，用数学表达出来即为：

（1）

其中，ax,ay为权重系数。目标函数第一项(up−gp)2代表输入图像u和输出图像g越相似越好；第二项是正则项，通过最小化u的偏导，使得输出图像g越平滑越好。

上式可以改写为矩阵形式：

（2）

其中，Ax,Ay为以ax,ay为对角元素的对角矩阵，Dx，Dy为前向差分矩阵，DTx和DTy是后向差分算子，要使得（2）式去的最小值，u需满足如下：

（3）

其中，，作者去的平滑权重系数为：

其中l表示log，ε一般取0.0001。式（3）求出μ为：

， （4）

当所选区域连续是，平滑权重系数可以近似为：ax ≈ ay ≈ a,那么：

（5）

现在，式（5）未知变量就只剩下一个L了，L = DTxDx + DTyDy，可以看出，L为拉普拉斯齐次矩阵。更多内容可以参考《Efficient Preconditioning of Laplacian Matrices for Computer Graphics》，里面介绍了拉普拉斯矩阵的数学基础和应用。

加权最小二乘滤波实现：

原作者在项目主页中公布了源码，这里po一下，便于理解：

function OUT = wlsFilter(IN, lambda, alpha, L)%WLSFILTER Edge-preserving smoothing based on the weighted least squares(WLS) % optimization framework, as described in Farbman, Fattal, Lischinski, and% Szeliski, "Edge-Preserving Decompositions for Multi-Scale Tone and Detail% Manipulation", ACM Transactions on Graphics, 27(3), August .%% Given an input image IN, we seek a new image OUT, which, on the one hand,% is as close as possible to IN, and, at the same time, is as smooth as% possible everywhere, except across significant gradients in L.%%% Input arguments:% ----------------%IN Input image (2-D, double, N-by-M matrix). % %lambdaBalances between the data term and the smoothness% term. Increasing lambda will produce smoother images.% Default value is 1.0% %alpha Gives a degree of control over the affinities by non-% lineary scaling the gradients. Increasing alpha will% result in sharper preserved edges. Default value: 1.2% %LSource image for the affinity matrix. Same dimensions% as the input image IN. Default: log(IN)% %% Example % -------%RGB = imread('peppers.png'); %I = double(rgb2gray(RGB));%I = I./max(I(:));%res = wlsFilter(I, 0.5);%figure, imshow(I), figure, imshow(res)%res = wlsFilter(I, 2, 2);%figure, imshow(res)if(~exist('L', 'var')), %如果参数不存在，所取默认值，下同L = log(IN+eps);endif(~exist('alpha', 'var')),alpha = 1.2;endif(~exist('lambda', 'var')),lambda = 1;endsmallNum = 0.0001;[r,c] = size(IN);k = r*c;% Compute affinities between adjacent pixels based on gradients of Ldy = diff(L, 1, 1); %对L矩阵的第一维度上做差分dy = -lambda./(abs(dy).^alpha + smallNum);dy = padarray(dy, [1 0], 'post'); %在最后一行后面补一行0dy = dy(:); %按列生成向量，就是Ay对角线上元素构成的矩阵，下同dx = diff(L, 1, 2); dx = -lambda./(abs(dx).^alpha + smallNum);dx = padarray(dx, [0 1], 'post');dx = dx(:);% Construct a five-point spatially inhomogeneous Laplacian matrixB(:,1) = dx;B(:,2) = dy;d = [-r,-1];A = spdiags(B,d,k,k);e = dx;w = padarray(dx, r, 'pre'); w = w(1:end-r);s = dy;n = padarray(dy, 1, 'pre'); n = n(1:end-1);D = 1-(e+w+s+n);A = A + A' + spdiags(D, 0, k, k);% SolveOUT = A\IN(:);OUT = reshape(OUT, r, c);

这里A+A′构造的是拉普拉斯非主对角线元素，D是主对角线元素。n,s,w,e是上（北）下（南）左（西）右（东）四个方位。最终生成的一副拉普拉斯矩阵图：

图中每一行元素之和都为0。其中紧靠主对角线元素的两个对角线填充的是dy元素,比较远的对角线填充的是dx元素，这样拉普拉斯矩阵处理的就是二维图像了。

测试函数：

%% 加权最小二乘滤波测试函数clc,close all,clear all;RGB = imread('flower.png'); % if length(size(RGB))>2%I = double(rgb2gray(RGB));% else%I=double(RGB);% endI=double(RGB);res=I;if length(size(RGB))>2for i=1:3I(:,:,i) = I(:,:,i)./max(I(:));res(:,:,i) = wlsFilter(I(:,:,i));endendfigure,subplot(211),imshow(I),title('原图');subplot(212), imshow(res),title('wls-output');

参考：

/bluecol/article/details/48576253

Edge-preserving decompositions for multi-scale tone and detail manipulation. ACM Transactions on Graphics

Efficient preconditioning of laplacian matrices for computer graphics[J]. ACM Transactions on Graphics

如果觉得《加权最小二乘（wls）滤波算法原理及实现》对你有帮助，请点赞、收藏，并留下你的观点哦！