一、基本信号

1.1信号的分类

1.1.1确定性信号和随机信号

对任意时刻，信号有确定的函数值，称为确定性信号。信号的取值在不同时刻随机变化则成为随机信号。

1.1.2周期信号与非周期信号

按某一固定周期重复出现的信号，可表示为，其中T的取值为R。例如无电阻损耗的理想LC电路的自然响应。

1.1.3连续时间信号与离散时间信号

连续时间信号：在所有连续时间值上均有定义，简称为连续信号或模拟信号。

离散时间信号：仅在一些离散时间点上才有定义，简称为离散信号。

1.1.4因果信号与非因果信号

因果信号：在时，,则称为因果信号。无记忆系统属于因果信号。

非因果信号：周期信号均为非因果信号。

1.2常用的基本信号

1.2.1直流信号

,属于非因果信号。

1.2.2正弦信号

1.2.3单位阶跃信号

1.2.4斜坡信号

1.2.5实指数信号

,属于因果信号

1.2.6复指数信号

,若，则f(t)为虚指数信号，若,则f(t)为实指数。

根据欧拉公式，复指数信号又可表示为：

1.2.7降正弦函数

特点：（1）Sa(t)是偶函数；

（2）当t=0时，Sa(t)为最大值1；

（3）曲线呈震荡衰减，取无穷大时极限为0;

（4）;

（5）sinc(t)的定义：;

1.3信号的基本处理

1.3.1相加与相乘

相加

相乘

1.3.2反转与延时

将自变量t换成-t可得到另一个函数f(-t)，称为信号的反转；

将自变量t换成,为正的实常数，可得新信号.

1.3.3压缩与扩展

将自变量t换成at可得到另一个函数f(at),a为正实数，则信号f(t)将在时间尺度上压缩或扩展。

1.3.4微分与积分

f(t)的一阶导数：

f(t)的二阶导数：

f(t)的积分表示：

1.3单位冲激函数

1.3.1冲激函数的定义

冲激函数是一个奇异函数，定义为,解释为在0这一刻瞬间出现又立即消失的信号，且幅值无限大；在其他时刻始终为0.

阶跃信号与冲激信号的确切关系：单位冲激信号的积分为单位阶跃信号，单位阶跃信号的导数应为单位冲激信号。

单位冲激函数： ；;

1.3.2冲激函数的性质

1.是偶函数:

2.具有取样性；

二、傅里叶级数

2.1傅里叶级数

给定一个周期为T的函数x(t)，当周期信号满足狄里赫利条件时，可用傅里叶级数表示。

狄里赫利条件：(1)在单个周期内只有有限个极大值和极小值，且只有有限个第一类不连续点;

(2)在单个周期内绝对可积，即.

表示为无穷级数：;

基波频率为，基波周期.

基波分量：合在一块称为基波分量或一次谐波分量。

2.2傅里叶级数的表示形式

2.1.1三角级数表示

三角形式：;

其中为基波角频率，称为n次谐波的频率；为直流分量。

系数求解：

系数的求解思路：可直接使用在单个周期内进行积分，因为cos与sin在周期内积分为0，、则可以利用三角函数的正交性进行求解，直接乘以,除自身外都可以正交积分为0，直接乘以,除自身外都可以正交积分为0.

傅里叶级数又可表示为余弦实函数：;

其中;.

2.1.2复指数级数表示

使用欧拉公式将三角形式转换成复指数形式，即

化简后则有,

令,由

可知，

可得，

可化简为

其系数为.

可视为各次谐波的函数，可表示为,为各次谐波的幅度，为其相位。

每对频率项可合成一个余弦实数项，即.各谐波振幅为.

三、傅里叶变换

3.1傅里叶变换

3.1.1 傅里叶变换的定义

傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。

3.1.2傅里叶变换的分类

非周期性连续信号傅里叶变换（Fourier Transform）

周期性连续信号傅里叶级数(Fourier Series)

非周期性离散信号离散时域傅里叶变换（Discrete Time Fourier Transform）

周期性离散信号离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform)

3.1.3傅里叶级数到傅里叶变换

正变换的推导：

已知复指数形式的周期信号有以下关系：；

而可视为离散值的函数，则

当时，谱线高度和谱线间隔趋于无穷小，则可用代替，变为连续变量，且;

即可推导出；同时,可见相当于单位频率所占的幅度，具有密度的意义，一般情况下为连续谱。

反变换的推导：

根据上面的公式可得又可表示为：,再代入到与的表达式中可得，同时将换成，求和变成积分

可得：

3.1.4连续傅里叶变换的正反变换

正变换：;

反变换：;

3.1.5离散傅里叶变换的正反变换

正变换：

反变换：

3.1.6的复指数表现形式

频谱函数一般为的复函数，则可将记为,则可写成;

为幅度频谱，是偶函数，为相位频谱，是奇函数；

;

其中；

可得；;

3.2常用信号的傅里叶变换

3.2.1门信号的傅里叶变换

门函数：幅度为1，宽度为的单个矩形脉冲，记为;

;

令,则频谱为;

3.2.2冲激信号的傅里叶变换

,有变换对,可见冲激信号的频谱为均匀谱。

3.2.3直流信号的傅里叶变换

设直流信号,则有,可推出;即;

3.2.4指数信号的傅里叶变换

设单边指数信号为,;

变换对：;

3.2.5符号信号的傅里叶变换

符号函数定义为：,由于不满足绝对可积条件，所以只能视为双边指数函数在0这一点的极限，即,则频谱为;

3.2.6阶跃信号的傅里叶变换

单位阶跃函数可以用直流信号和符号函数表示为：,频谱可化为;

3.3傅里叶变换的性质

3.3.1线性性质

因为傅里叶变换本身就是线性变换，所以满足线性关系。

3.3.2脉冲展缩与频带变化

已知，则，表明了信号时域波形的压缩，对应其频谱图形的的扩展；信号时域波形的扩展对应其频谱图形的压缩，且展缩倍数一致。

3.3.3延时与相位移动

延时后，其对应的幅度频谱保持不变，但相位频谱中所有分量的相位均滞后.

3.3.4调制与频谱搬移

调制：乘以将信号抬升至高频区间；

解调：乘以将信号搬移到低频区间；

频谱搬移：

3.3.5时-频对称性

信号的时域变化与其频谱特性之间存在一定的对称性，若，则有;它表明了若函数的频谱为,则时间信号对应的频谱为;

3.3.6卷积定理

,时域的卷积对应频域函数的相乘；

,时域相乘对应频域卷积。

3.3.7时域微分

若，则有;推广可得

3.3.8时域积分

若，则有;

四、拉普拉斯变换

4.1拉普拉斯变换

4.1.1拉普拉斯变换的定义

拉普拉斯正变换的推导：已知傅里叶变换为，乘以收敛因子,为实常数，则有;

令复频率,则有,称为信号的双边拉普拉斯变换，简称双边拉氏变换。

拉普拉斯反变换的推导：，利用了傅里叶变换的频谱搬移性质。再同乘以，可得,因为，且为实常数，则有,当时，有,从而

4.1.2傅里叶到拉普拉斯

由于傅里叶变换需要满足狄里赫利条件，但大部分函数都是不满足其绝对可积条件的，所以采用一个衰减函数使其满足其绝对可积。

4.2常用信号的拉普拉斯变换

4.3拉普拉斯变换的性质

4.3.1线性性质

满足可加性与齐次性：

4.3.2延时性质

从t=0开始的周期信号的拉氏变换等于其第一周期波形的拉氏变换乘以;

即

4.3.3微分定理

若,则有;;

若为有始函数，则,则有.

4.3.4积分定理

若,;

4.2.5卷积定理

4.2.6初值与终值定理

若信号在0处不含冲激函数，则初值定理为，中值定理为.

五、附录

5.1.1傅里叶变换的性质

5.1.2周期信号的傅里叶变换

5.1.3非周期信号的傅里叶变换

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