定义
拉氏变换：F ( s ) = ∫ 0 ∞ f ( t ) e − s t s = σ + j w F(s) = \int_{0}^{\infty } f(t)e^{-st}\\ s = \sigma + jw F(s)=∫0∞f(t)e−sts=σ+jw
傅里叶级数
f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 0 ∞ ( a n c o s n x + b n s i n n x ) a 0 = 1 π ∫ − π π f ( x ) d x a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) c o s n x d x b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) s i n n x d x f(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=0}^\infty(a_ncosnx+b_nsinnx)\\ a_0= \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx\\ a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)cosnx\ dx\\ b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)sinnx\ dx\\ f(x)=2a0+n=0∑∞(ancosnx+bnsinnx)a0=π1∫−ππf(x)dxan=π1∫−ππf(x)cosnxdxbn=π1∫−ππf(x)sinnxdx傅里叶变换
F ( ω ) = ∫ 0 ∞ f ( t ) e − j w t F(\omega) = \int_{0}^{\infty } f(t)e^{-jwt} F(ω)=∫0∞f(t)e−jwt
周期函数都可以表示为成谐波关系的正弦函数的加权和；非周期函数都可以用正弦函数的加权积分表示。
傅里叶变换的前提：满足狄里赫利条件，满足狄里赫利条件的周期函数，一定能展开为傅里叶级数，能展开为傅里叶级数的函数，一定能进行傅里叶变换，不满足狄里赫利条件的函数无法展开为傅里叶级数，也就无法进行傅里叶变换.
狄里赫利条件：
函数在任意有限区间内连续，或只有有限个第一类间断点（当从左或右趋于这个间断点时，函数有有限的左极限和右极限）
(2)在一个周期内，函数有有限个极大值或极小值。
(3) 在单个周期内绝对可积,简而言之就是不能无限递增或者无限递减或者增幅振荡。
两者关系
对于一个系统来说，时域和频域是两个观察角度，傅里叶变换是将一个系统的时域中的函数转化为频域中的函数，但是傅里叶变换需要满足一定条件，傅里叶变换最初提出是为了用来进行信号分析，但是如此强大的工具是否能拿来干别的事情呢？傅里叶变换有一个重要的性质即：函数的n阶导数的傅里叶变换等于其傅里叶变换乘以 i w iw iw的n次方。于是我们可以借用这个性质去解微分方程，对于一个微分方程两边同时进行傅里叶变换，就可以将微分转化为代数计算，计算出F(w)后再进行傅里叶反变换，就可以解出微分方程。
到此我们了解了傅里叶变换的两个用途，一个是用于信号分析，一个是用于求解微分方程。但是傅里叶变换也有问题，第一个问题就是在进行信号分析的时候无法考虑衰减信号的影响。第二个问题是傅里叶变换的要求条件非常严格，很多常用函数无法进行傅里叶变换。于是拉氏变换应运而生。
拉氏变换是对于傅里叶变换的扩展，在傅里叶变换的基础上，进一步将频域拓展到了复域，既然无法解决掉不可积的情况，那么就乘一个东西，把递增递减的部分变得可描述， e − σ t e^{- \sigma t} e−σt就是一个非常合适的选择，指数增长的幅度大于大部分的函数变化速率，乘上之后就可以把递增递减的部分给控制住，至于0之前的负数部分，我们可以使用一个激励函数直接把前面的过滤掉，反正时间t从0开始，0以前的情况也没什么意义。
数学图像在线作图网站：desmos可以自己尝试一下看看这个小小函数的威力，下图红色部分为 x 2 x^2 x2,蓝色部分是乘以 e ( − 0.5 x ) e^{(-0.5x)} e(−0.5x)之后的
这就是拉氏变换和傅里叶变换的关系，拉氏变换在傅里叶变换的基础上添加了一个衰减因子 e − σ x e^{- \sigma x} e−σx，并将负数部分舍弃，成功将频域拓展到了复频域
F ( ω ) = ∫ 0 ∞ f ( t ) e − ( σ + j w ) t d t F(\omega) = \int_{0}^{\infty } f(t)e^{-(\sigma + jw)t}dt F(ω)=∫0∞f(t)e−(σ+jw)tdt
其中的 σ + j w \sigma + jw σ+jw就是s（因为将负数部分舍弃，所以积分从0开始）
如何理解频域和复频域？
频域的自变量w的诞生来自傅里叶变换，在下面的延伸里面看。拉氏变换则是将 σ + j w \sigma + jw σ+jw整体作为一个自变量s，w代表频率， σ \sigma σ代表衰减因子，傅里叶变换相当于衰减因子等于0的拉氏变换。
本来我们是将任意函数分解为三角函数的叠加，现在我们可以将任意函数分解为“带衰减的三角函数的线性叠加”,这样我们就可以对具有衰减的信号进行分析了，也方便解微分方程了。
不过要注意的一点就是我们前文所提到的傅里叶变换的那个重要性质，在拉氏变换中不太一样，拉氏变换中是这样的：如果f（x）的拉氏变换是F（s），那么他的一阶导数的拉氏变换是 s F ( s ) − f ′ ( 0 ) sF(s) - f'(0) sF(s)−f′(0),二阶导数的拉氏变换是 s 2 F ( s ) − s f ( 0 ) − f ′ ( 0 ) s^2F(s) - sf(0) -f'(0) s2F(s)−sf(0)−f′(0)
拉普拉斯变换的一些性质【其实一般课本后面都会有，没必要背，当然，为了应付考试另说】
延申
其实可以把这里的时域和频域理解为线性空间，函数本身构成一个现象空间，可以进行加法，也可以进行数乘，那么根据矩阵理论中的知识，我们可以知道对称空间中任何函数可以分解为该空间中的奇函数和偶函数的和。
证明：这个知识点是由”方阵组成的线性空间可以由对称矩阵和反对称矩阵来表达出来“推理出来的，任何一个矩阵都可以分解为对称矩阵和反对称矩阵。
但是对于这么多的奇函数和偶函数，怎么进行研究呢？需要一个研究工具，这个时候就用到了傅里叶变换了，在时域确实是由一堆奇函数和偶函数组合而成，无法研究，但是将其放到频域里面，那么就好研究多了。
那么进一步找到这个线性空间的”基函数“，就可以将所有的函数分解为基函数的组合，傅里叶就找到了sin和cos这两个经典的周期奇函数和偶函数，以这两个为基函数，控制三角函数的频率 ω \omega ω，进而可以表达所有的函数，所需要到的三角函数的数量，就是这个频率空间的维数。只不过，非周期函数展开后是一个连续频谱，也就是说无数多个三角函数叠加起来的，周期函数展开后是离散频谱，也就是说由有限个三角函数组合起来的。
即：任何函数都可以写成：
f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n s i n ( n x ) + b n c o s ( n x ) ) f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n sin(nx)+b_n cos(nx)) f(x)=2a0+n=1∑∞(ansin(nx)+bncos(nx))
如何从三角函数变到了频域又到了复域？
从三角函数到频域可以理解，将 ω \omega ω看做变量，就到了频域，那么复域呢？这就要引入自然指数e的虚数次方的概念了，e的虚数次方定义是欧拉公式: e i θ = cos θ + i sin θ e^{i\theta}=\cos \theta + i \sin \theta eiθ=cosθ+isinθ，这个公式的具体证明，需要用到级数，可以看知乎上的一个回答：欧拉公式推导。
有了这个公式，我们可以计算出sin和cos在复数域下的表示 e i x = c o s x + i s i n x e − i x = c o s x − i s i n x c o s x = 1 2 ( e i x + e − i x ) s i n x = − 1 2 i ( e i x − e − i x ) e^{ix}=cosx+isinx\\ e^{-ix}=cosx-isinx\\ cosx=\frac{1}2(e^{ix}+e^{-ix})\\ sinx=-\frac{1}2i(e^{ix}-e^{-ix})\\ eix=cosx+isinxe−ix=cosx−isinxcosx=21(eix+e−ix)sinx=−21i(eix−e−ix)
我们就可以将傅里叶变换进行改写
f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n c o s n x + b n s i n n x ) = a 0 2 ∑ n = 0 0 e − i n x + 1 2 ∑ n = 1 ∞ ( a n e i n x + a n e − i n x ) − 1 2 i ∑ n = 1 ∞ ( b n e i n x − b n e − i n x ) = a 0 2 ∑ n = 0 0 e − i n x + 1 2 ∑ n = 1 ∞ ( a n − i b n ) e i n x + 1 2 ∑ n = 1 ∞ ( a n + i b n ) e − i n x = a 0 2 ∑ n = 0 0 e − i n x + 1 2 ∑ n = 1 ∞ ( a n − i b n ) e i n x + 1 2 ∑ n = − ∞ − 1 ( a − n + i b − n ) e i n x = ∑ n = − ∞ + ∞ c n e i n x \begin{aligned} f(x)&=\frac{a_0}2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_ncosnx+b_nsinnx)\\ &=\frac{a_0}{2}\sum_{n=0}^{0}e^{-inx}+\frac{1}2\sum_{n=1}^{\infty}{(a_ne^{inx}+a_ne^{-inx})}-\frac{1}2i\sum_{n=1}^{\infty}{(b_ne^{inx}-b_ne^{-inx})}\\ &=\frac{a_0}{2}\sum_{n=0}^{0}e^{-inx}+\frac{1}2\sum_{n=1}^{\infty}{(a_n-ib_n)e^{inx}}+\frac{1}2\sum_{n=1}^{\infty}{(a_n+ib_n)e^{-inx}}\\ &=\frac{a_0}{2}\sum_{n=0}^{0}e^{-inx}+\frac{1}2\sum_{n=1}^{\infty}{(a_{n}-ib_n)e^{inx}}+\frac{1}2\sum_{n=-\infty}^{-1}{(a_{-n}+ib_{-n})e^{inx}}\\ &=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_ne^{inx} \end{aligned}\\ f(x)=2a0+n=1∑∞(ancosnx+bnsinnx)=2a0n=0∑0e−inx+21n=1∑∞(aneinx+ane−inx)−21in=1∑∞(bneinx−bne−inx)=2a0n=0∑0e−inx+21n=1∑∞(an−ibn)einx+21n=1∑∞(an+ibn)e−inx=2a0n=0∑0e−inx+21n=1∑∞(an−ibn)einx+21n=−∞∑−1(a−n+ib−n)einx=n=−∞∑+∞cneinx
c n c_n cn我们进行如下的分类讨论，
n = 0 , c n = a 0 2 = 2 T ∫ 0 T f ( x ) d x = 1 T ∫ 0 T f ( x ) e − i n x d x ( n = 0 , e − i n x = 1 ) \begin{aligned} n=0,c_n&=\frac{a_0}2\\ &=\frac{2}T\int_{0}^{T}{f(x)}dx \\&=\frac{1}T\int_{0}^{T}{f(x)e^{-inx}}dx\ \ (n=0,e^{-inx}=1) \\ \\ \end{aligned}\\ n=0,cn=2a0=T2∫0Tf(x)dx=T1∫0Tf(x)e−inxdx(n=0,e−inx=1)
n ≥ 1 , c n = a n − i b n 2 = 1 2 [ 2 T ∫ 0 T f ( x ) c o s n x d x − 2 T ∫ 0 T f ( x ) i s i n n x d x ] = 1 T ∫ 0 T f ( x ) ( c o s n x − i s i n n x ) d x = 1 T ∫ 0 T f ( x ) e − i n x d x \begin{aligned} n\ge1,c_n&=\frac{a_n-ib_n}2\\&=\frac{1}2[\frac{2}T\int_{0}^{T}{f(x)cosnx}dx-\frac{2}T\int_{0}^{T}{f(x)isinnx}dx]\\ &= \frac{1}T\int_{0}^{T}{f(x)(cosnx-isinnx)}dx\\&=\frac{1}T\int_{0}^{T}{f(x)e^{-inx}}dx \\ \end{aligned}\\ n≥1,cn=2an−ibn=21[T2∫0Tf(x)cosnxdx−T2∫0Tf(x)isinnxdx]=T1∫0Tf(x)(cosnx−isinnx)dx=T1∫0Tf(x)e−inxdx
n ≤ − 1 , c n = 2 T ∫ 0 T f ( x ) d x = a − n + i b − n 2 = 1 2 [ 2 T ∫ 0 T f ( x ) c o s ( − n x ) d x + 2 T ∫ 0 T f ( x ) i s i n ( − n x ) d x ] = 1 T ∫ 0 T f ( x ) [ c o s n x − i s i n n x ] d x = 1 T ∫ 0 T f ( x ) e − i n x d x \begin{aligned} n\le-1,c_n&=\frac{2}T\int_{0}^{T}{f(x)}dx\\ &=\frac{a_{-n}+ib_{-n}}2\\ &=\frac{1}2[\frac{2}T\int_0^Tf(x)cos(-nx)dx+\frac{2}T\int_0^Tf(x)isin(-nx)dx]\\ &=\frac{1}T\int_0^Tf(x)[cosnx-isinnx]dx\\ &=\frac{1}T\int_0^Tf(x)e^{-inx}dx \end{aligned}\\ n≤−1,cn=T2∫0Tf(x)dx=2a−n+ib−n=21[T2∫0Tf(x)cos(−nx)dx+T2∫0Tf(x)isin(−nx)dx]=T1∫0Tf(x)[cosnx−isinnx]dx=T1∫0Tf(x)e−inxdx
于是我们很惊喜的发现系数的表达式居然可以统一！
c n = 1 T ∫ 0 T f ( x ) e − i n x d x c_n=\frac{1}T\int_0^{T}f(x)e^{-inx}dx cn=T1∫0Tf(x)e−inxdx
我们将函数的自变量x换成在物理或者控制系统中更加通用的 w t wt wt， w t wt wt即频率，我们可以通过控制 w w w来实现分解，这时之前用来表示周期的n也就没有用了可以并入 w t wt wt中，改写成：
f ( t ) = ∑ n = − ∞ + ∞ c n e i w t c n = 1 T ∫ 0 T f ( x ) e − i n x d x f(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{iwt}\\ c_n = \frac{1}T\int_0^{T}f(x)e^{-inx}dx f(t)=n=−∞∑+∞cneiwtcn=T1∫0Tf(x)e−inxdx
这其中的T是函数的周期，非周期函数的周期可以理解无无穷，也就是 T − > ∞ T ->\infty T−>∞,这时 w − > 0 w->0 w−>0 意味着在频域内的是连续的， w w w是不间断的
根据积分的定义，我们可以进一步改写，将从负无穷到正无穷的求和改写为积分，因为我们将n合并到了 w w w之中，所以积分对象也就变成了 w w w
f ( t ) = ∑ n = − ∞ + ∞ c n e i w t = lim T → ∞ ∑ n = − ∞ + ∞ Δ w 2 π ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − i w t d t e i w t = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ [ ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − i w t d t ] e i w t d w \begin{aligned} f(t)&=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_ne^{iwt}\\ &=\lim_{T\rightarrow\infty}\sum_{n=-\infty}^{+\infty}\frac{\Delta w}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-iwt}dte^{iwt}\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}[\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-iwt}dt]e^{iwt}dw \end{aligned}\\ f(t)=n=−∞∑+∞cneiwt=T→∞limn=−∞∑+∞2πΔw∫−∞+∞f(t)e−iwtdteiwt=2π1∫−∞+∞[∫−∞+∞f(t)e−iwtdt]eiwtdw
在频域内自变量应变为 w w w,所以我们令：
F ( w ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − i w t d t (1) F(w)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-iwt}dt\tag1 F(w)=∫−∞+∞f(t)e−iwtdt(1)
于是可以得到
f ( t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ F ( w ) e i w t d w (2) f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(w)e^{iwt}dw\tag2 f(t)=2π1∫−∞+∞F(w)eiwtdw(2)
(1) 式即为傅里叶变换 ，(2) 式是傅里叶变换的逆变换。
F(w) 中是不含有时间t的，因为通过积分消去了， F(w) 是关于 w 的函数，这是一个复数的函数，它的模表示的就是当前频率信号的强度 c n c_n cn。
为何在最后t会消失?
因为从一开始，我们要描述的就是一个函数，我们的研究对象就是这个函数本身，将这个函数展开，分解等等，至于这个函数的输入输出，这并不重要，我们要做的是描绘这个函数，通过将三角函数转化为复数的欧拉公式，我们实现了将一个函数转化为了复数域中的一个点，然后我们又将nx转化为了wt，这一步将这个复数域的基由数字，变为了频率，这一步完成以后我们就彻底实现了将任意一个函数转化到了频域里面的n个点的集合，频域里面的一个点的x坐标即频率，y坐标即cn，至于输入输出，在频域内并不体现。
这种办法是一种很有用的数学思想，我并不知道这种观察问题的办法叫做什么名字，但是可以在很多地方见到他的身影，即，对同一个问题从不同的角度去建模，去观察。比如在计算机视觉中有一个算法叫做Hough变换，也用到了这个思想，Hough变换想要拟合一条直线，但是这个线从哪里入手呢？我们人眼可以一眼画出一个线，但是笼统的东西对于计算机来说恰恰是最麻烦的，Hough变换则是把这个问题放到了函数参数空间来解决，把所有的点都两两组合，计算出两点连线y=kx+b的参数k和b，然后以k和b为坐标轴建立参数空间坐标系，根据点的分布密度来决定有几条线，参数分别是什么。Hough变换将拟合问题转化为了聚类问题。
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