用梯度下降求解最小二乘线性回归python实现

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1.前言

最小二乘法线性回归作为最基础的线性回归，在统计和机器学习中都有重要的地位。在机器学习中，线性回归用来从数据中获得启示来帮助预测，因此如何得到最拟合数据的函数和防止过拟合是研究重点。

假设我们的拟合函数是y=ax+by = ax + by=ax+b，标准的线性最小二乘采用MSE做为loss function。那么在用梯度下降求解的时候，参数a,b对应的梯度分别为:

∂∂aL(a,b)=∂∂a(12m∑i=1m(axi+b−yi)2)=1m∑i=1m(axi+b−yi)xi\frac{\partial}{\partial a} L(a, b) = \frac{\partial}{\partial a} \left(\frac{1}{2m} \sum_{i=1}^m(ax^i + b - y^i)^2 \right) = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(ax^i + b - y^i) x^i∂a∂​L(a,b)=∂a∂​(2m1​i=1∑m​(axi+b−yi)2)=m1​i=1∑m​(axi+b−yi)xi

∂∂bL(a,b)=∂∂b(12m∑i=1m(axi+b−yi)2)=1m∑i=1m(axi+b−yi)\frac{\partial}{\partial b} L(a, b) = \frac{\partial}{\partial b} \left(\frac{1}{2m} \sum_{i=1}^m(ax^i + b - y^i)^2 \right) = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m(ax^i + b - y^i)∂b∂​L(a,b)=∂b∂​(2m1​i=1∑m​(axi+b−yi)2)=m1​i=1∑m​(axi+b−yi)

2.梯度下降求解最小二乘

import numpy as npalpha = 0.01 eps = 1e-6x = [1., 2., 3., 4., 5., 6., 7., 8., 9.]y = [3., 5., 7., 9., 11., 13., 15., 17., 19.] def solve_by_gradient():# m is sample numm = len(x)a, b= 0, 0sse, sse_new = 0, 0grad_a, grad_b = 0, 0count = 0for step in range(100000):count += 1for i in range(m):base = a * x[i] + b - y[i]grad_a += x[i] * basegrad_b += basegrad_a = grad_a / mgrad_b = grad_b / ma -= alpha * grad_ab -= alpha * grad_b# loss function: Mean Squared Error, MSE# because 2m is a const, so 1/2m can be ignoredfor j in range(m):sse_new += (a * x[j] + b - y[j]) ** 2if abs(sse_new - sse) < eps:breakelse:sse = sse_newprint('{0} * x + {1}'.format(a, b))print "count is: " , countsolve_by_gradient()

上面的代码严格按照梯度进行迭代而来，最后输出的结果为：

2.00003690546 * x + 0.999758438895count is: 3386

由结果可知，最后还是比好好的拟合出了数据反应的y=2x+1的规律。

不过问题也比较明显，也比较好的证明了梯度下降的一个缺点：收敛速度很慢。像我们这个简单的例子，用了3386次迭代才最终收敛。

3.用矩阵求解的方式直接计算

在参考文献1中，我们给出了最小二乘矩阵求解的直接计算方式：

θ=(ATA)−1ATY\theta = (A^TA)^{-1}A^TYθ=(ATA)−1ATY

利用这个公式我们来实现一下：

x = [1., 2., 3., 4., 5., 6., 7., 8., 9.]y = [3., 5., 7., 9., 11., 13., 15., 17., 19.]def solve_by_gd_matrix():x0 = [1.0 for i in range(9)]xarray = np.column_stack((x, x0))xmatrix = np.mat(xarray, float)yarray = np.array(y)ymatrix = np.mat(yarray, float)theta = (xmatrix.T * xmatrix).I * xmatrix.T * ymatrix.Tprint(theta)

代码中的x0，就是相当于偏置项b。θ\thetaθ求解公式直接套用上面的公式，最后代码运行的结果为:

[[2.][1.]]

直接精确求出a=2, b=1。

最小二乘法矩阵求解的推导过程如下，内容来自参考文献2.

参考文献：

1./mdeditor/51589143#

2./p/33899560

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